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A cura di Michela Malpangotto
Introduzione
1 Presentazione dell'operaI Maurolyci siculi Sphaericorum libri duo costituiscono un trattato di trigonometria sferica che si compone di tre definizioni, relative alle funzioni trigonometriche fondamentali, di 81 teoremi e di uno scholium conclusivo. I teoremi che costituiscono la trattazione mauroliciana, pur essendo inseriti in un quadro organico rigoroso da un punto di vista logico-deduttivo si articolano in gruppi - sostanzialmente quattro- nei quali l'autore esamina e sviluppa proprietà o situazioni particolari:
2 Tradizione e novitàLa trigonometria sferica, sviluppatasi come supporto geometrico teorico necessario all'astronomia, ha una antica tradizione che Maurolico conosce e ricorda nella prefazione al primo dei propri Sphaericorum libri. Nel panorama latino fino al 1558, le Sferiche di Menelao (II sec.) e il De triangulis omnimodis di Regiomontano (XV sec.) furono le uniche esposizioni organiche dell'argomento, che veniva presentato come parte conclusiva della dottrina dei triangoli. Tali opere rappresentavano i risultati migliori di due tradizioni distinte e fondamentalmente diverse: il terzo libro di Menelao si inseriva nella tradizione greca fondata sulle corde e sulla figura sectoris del così detto teorema di Menelao; mentre i libri IV e V di Regiomontano esponevano una teoria che faceva uso dei seni e del relativo teorema di derivazione arabo-latina. A questi fondamentali contributi si aggiungevano le premesse geometriche contenute nel primo libro della Sintassi matematica di Tolomeo, riprese e sviluppate da tutti i commentatori sia arabi sia latini dell'opera greca, i quali si mantennero fedeli all'impianto originale che esponeva risultati di trigonometria piana finalizzati al calcolo della tavola di corde e fondava la trigonometria sferica sulla figura sectoris. L'innovazione profonda della trigonometria sferica attuata da Maurolico nei propri Sphaericorum libri II sta proprio nell'aver attinto da tutta la tradizione e nell' aver integrato i contributi sia antichi sia medievali, arrivando a dare una sistemazione della disciplina fortemente originale. Il punto di partenza assunto da Maurolico come base della propria opera è il teorema dei seni in tutte le versioni e implicazioni1. In questo egli è debitore al De triangulis omnimodis per i risultati principali (I.6, 7, 10, 16, 17, 21, 22) di cui però propone una riorganizzazione efficace. Mentre l'esposizione di Regiomontano procede attraverso teoremi dagli enunciati generali le cui dimostrazioni necessariamente si appesantiscono di casistiche particolari; il matematico messinese scompone tali casistiche, distribuendo le diverse situazioni particolari in teoremi distinti che gli permettono di giungere agli enunciati generali attraverso un processo logico-deduttivo più scandito e graduale. Quelli che nella sostanza sono gli stessi elementi che nel De triangulis sono disposti in 6 teoremi (IV. 15-20), diventano in Maurolico 17 teoremi (I. 6-22) e assumono la forma di un ragionamento chiaro dal quale risulta più evidente l'essenza delle relazioni trigonometriche che intercorrono tra gli elementi costituenti i triangoli sferici. Con queste premesse Maurolico organizza una rilettura dei principali risultati già raggiunti da Menelao. Due teoremi in particolare sono oggetto di una sostanziale rielaborazione: III.23, III.52 L'enunciato della proposizione III.23, che chiude il trattato di Menelao, è anche l'ultimo nell'edizione ex traditione Maurolyci, in calce alla quale l'autore scrive: Notandum quod ex hac propositione oriuntur multae demonstrationes circa triangula sphaeralia rectangula notatu dignae, quas nos in nostris duobus Sphaericorum libellis exponemus.
Effettivamente i 22 teoremi che formano la seconda parte del primo libro degli Sphaericorum Maurolyci considerano la situazione esaminata -in un solo teorema- da Menelao, distinguendo una casistica dettagliata che amplia nei risultati e raffina nella struttura la versione arabo-latina. Il secondo libro è introdotto da una prefazione che porta tutta l'attenzione sulla proposizione III.5 di Menelao3: De proportione, quam servat sinus aggregati ex arcubus acutum angulum comprehendentibus in rectangulo trigono sphaerali ad sinum differentiae eorundem arcuum, servato acuto, deinceps nobis disserendum est. Qui locus quamvis a Menelao minime sit praetermissus, nos tamen theorema illud nobilissimum, quod ipsi quintum est in ordine propositionum tertii libelli, aliter atque aliter demonstrantes multis rem speculationibus et quasi corollariis illustravimus. Non enim parsimus oportunis praeambulis ad demonstrationem spectantibus: quo distinctis commodius propositionibus, omnia sint apertiora scituque iucundiora. Effettivamente la prima parte del secondo libro degli Sphaericorum Maurolyci è dedicata a uno stesso enunciato di cui Maurolico propone sia due dimostrazioni alternative (II.10 e II.12) fondate su premesse che egli attinge dalla tradizione, ma che rielabora per quella situazione particolare, sia la dimostrazione (II.14) che egli considera tradizionale di Menelao: ``Superest nunc tertius id ipsum demonstrandum modus: quem a Menelao traditum existimo''.4 Vi è infine un'ultima tradizione sulla quale Maurolico si inserisce nello scholium che chiude i Maurolyci Sphaericorum libri. Si tratta della prassi per il calcolo delle tavole astronomiche 5. Maurolico si confronta con i Canones premessi alle tavole di Giovanni Regiomontano. L'obiettivo che il matematico messinese persegue in maniera originale è quello di rendere manifesta, usando i teoremi dei propri Sphaericorum libri, la teoria che fonda la praxim esposta sotto forma di regole: Lubet tamen demonstrare praxim, qua Ioannes Regiomontanus utitur in calculanda declinationem et ascensionem recta per tabulas generales, nec non in habenda differentia ascensionali. Non enim apertum est omnibus ingeniis unde pendeant illius calculi Regulae. 6 La determinazione della ascensione retta offre a Maurolico lo spunto per confrontare il laborioso procedimento di Regiomontano con una via alternativa più elegante, basata su I.17 delle proprie Sferiche7 e sottolineare come la scelta di Regiomontano fosse dettata dall'esigenza di precisione, fondamentale nel calcolo tabulare. I requisiti necessari alla lettura delle Sferiche di Maurolico sono esclusivamente gli Elementi di Euclide e gli Elementi sferici di Teodosio, ai quali l'autore rimanda sempre in maniera esplicita. I richiami alle proposizioni di Euclide corrispondono alla versione di Campano8. I richiami alle proposizioni di Teodosio invece non corrispondono alla versione ex traditione Maurolyci che precede, nel volume del 1558, le Sferiche di Maurolico. Corrispondono invece perfettamente con le edizioni del 1518 e del 1529; inducono perciò a ipotizzare che la stesura delle proprie Sferiche abbia preceduto quella degli Sphaericorum Theodosii ex traditione Maurolyci. 3 Contestualizzazione dell'operaL'interesse da parte di Maurolico per la dottrina sferica, sviluppata nei testi di Teodosio e Menelao, è attestato già nei Grammaticorum rudimentorum libelli sex pubblicati nel 1528. Tuttavia dalle sue parole non sembra che a quest'epoca egli avesse ancora prodotto e nemmeno progettato un proprio trattato sull'argomento. La struttura dei Maurolyci Sphaericorum libri duo e in particolare la dipendenza dal De triangulis omnimodis autorizzano a pensare che il matematico messinese abbia iniziato la composizione delle proprie Sferiche non prima del 1533, anno in cui usciva per le stampe il trattato di Regiomontano. Effettivamente, il primo documento in cui Maurolico afferma di aver composto un proprio contributo alla Sphaerica, è la lettera indirizzata a Pietro Bembo, datata 4 Maggio 1536: Scripsi quoque per me nonnulla...Item Sphaericorum libellos V,... Non possediamo alcuna informazione ulteriore che permetta di definire con maggiore precisione il contenuto di quei libelli V, è possibile che i Maurolyci Siculi Sphaericorum libri duo fossero parte di essi.
Le numerose testimonianze manoscritte pervenute attestano che negli anni 1549-55 il matematico messinese era impegnato -fra l'altro- nel calcolo delle tavole trigonometriche e in una riflessione sulla prassi seguita dai calcolatori e illustrata da Regiomontano nei Canones premessi alle proprie tavole, che lo porterà a rinnovare, migliorandolo, l'assetto delle tavole.
Particolarmente significativi per la datazione delle Sferiche sono:
Queste testimonianze forniscono informazioni relative alla struttura dell'opera e richiamano argomenti effettivamente trattati nei Maurolyci Sphaericorum libri duo. Ciò fa supporre che nel 1550 l'opera mauroliciana avesse già assunto la struttura che manterrà nella edizione a stampa del 1558: due libri chiusi da uno scholium conclusivo, dedicato alla prassi delle tavole di declinazione e ascensione. Una descrizione precisa dei contenuti dell'opera si trova nella lettera indirizzata a Juan de Vega12: In sphaericis multo laboravi...ego multa a Menelao praetermissa conspiciens, ea supplevi; atque in duos libellos redacta disposui. In primum enim quaecumque ad rationem sinuum facilius et aliter demonstrata contuli. In secundum multa copiose de triangulo sphaerali orthogonio profundissima et non contemnenda tradidi, et in calce operis praxim tabularis calculi, quo Ioannes de Monteregio utitur, in supputandis universaliter stellarum declinationibus et rectis ascensionibus, quoque utitur.13
Nel 1558 i Maurolyci siculi Sphaericorum libri duo vengono stampati all'interno di un volume dedicato alla Parva astronomia. In esso si trova un Compendium Mathematicae, la cui sezione Sphaerica Maurolyci illustra i risultati della propria opera, che l'autore riteneva più significativi. Una descrizione dei testi sferici di Teodosio, Menelao e Maurolico si trova nella Sphaericorum Epitome del 1571. 4 FortunaUna testimonianza che attesta inequivocabilmente il valore della produzione mauroliciana sui triangoli sferici è data da Cristoforo Clavio in calce al volume composto da Clavio e pubblicato a Roma nel 158614: Atque hic finis sit nostrorum triangulorum in quibus omnia ea videor esse complexus quae ad calculum ipsorum requiruntur. His ergo, benigne Lector, interea fruere feliciter, dum tres integros libros triangulorum Sphaericorum Menelai, cum duobus Francisci Maurolyci in quibus multo plura, quam hic a nobis explanata sunt et quidem scitu iucundissima continentur, clarioribus demonstrationibus illustratos in lucem, Deo nostris coeptis bene favente, prodire sinamus.
Il contributo di Clavio sui triangoli sferici tiene conto di tutti i risultati esistenti, dai più tradizionali ai più moderni di Maurolico e Copernico; nonostante ciò l'autore lo giudica un intermezzo, da sostituire con una edizione dei tre libri di Menelao e dei due di Maurolico che stava preparando
Le Sferiche di Maurolico partecipano della fortuna del volume in cui vennero stampate nel 1558. Quest'ultimo ebbe vasta circolazione e venne studiato soprattutto nel XVII secolo, come attesta la Universae geometriae mixtaeque mathematicae synopsis (Parisii ,1644) in cui Marin Mersenne propone una edizione, limitandosi ai soli enunciati, delle due Sferiche ex traditione Maurolyci (Teodosio e Menelao)e dei Maurolyci Sphaericorum libri duo; e come testimoniano anche i codici manoscritti ritrovati. 5 Tradizione manoscritta e criteri di edizioneDei Maurolyci Sphaericorum Lib. II si conoscono tre manoscritti: Madrid, Biblioteca de la Real Academia de la Historia, Cortes 2787 Paris, BNF, segnato F.L.17859 Erlangen, Universitätsbibliothek, 83215 e l'editio princeps, qui designata con S, realizzata a Messina nel 1558, a cura di Pietro Spira e sotto la supervisione di Maurolico. Madrid, Biblioteca de la Real Academia de la Historia, Cortes 278716. Questo manoscritto è stato ritenuto da M. Clagett ([Clagett 1974, p. 175]) la copia fornita da Maurolico all'editore, mentre R. Moscheo esclude tale possibilità e giudica questo manoscritto una copia della stampa (1558), in cui sono ''sicuramente di sua mano tutte le figure geometriche, didascalie comprese, ed alcune aggiunte marginali''. Per questo motivo, nel ralizzare la presente edizione, tale manoscritto, qui designato con C, è stato accuratamente collazionato con il testo a stampa S. Tutte le varianti sono segnalate in apparato17, mentre di seguito vengono riportati solamente i risultati più significativi. Il lavoro svolto sui Maurolyci Sphaericorum Lib. II conferma l'analisi condotta da P. d'Alessandro sui Theodosii sphaericorum elementa ex traditione Maurolyci, ossia che C è una copia di S. Gli indizi su cui si basa questa ipotesi sono di due tipi: gli errori comuni tra S e C e gli errori del solo C18. a) errori comuni tra S e C (solo alcuni casi esemplificativi). Molti sono gli errori di S, relativi alle lettere che indicano i punti della figura, gli stessi errori vengono ripetuti da C. LIBRO I; prop.2: adc invece che abc ci ò sia in S che in C, prop.6: eh invece che gh ciò sia in S che in C, prop.18 df invece che ef ciò sia in S che in C, bh invece che ah ciò sia in S che in C, prop. 37: ag invece che bg ciò sia in S che in C; LIBRO II; prop.4: ae invece di ab ciò sia in S che in C, em invece di bm ciò sia in S che in C, e invece di b ciò sia in S che in C. Altri errori comuni tra S e C: LIBRO I; nella prop.11 invece di triangula S scrive rectangula, C ripete lo stesso errore scrivendo rectangula; LIBRO II; nella prop.12 S scrive: ad lineam km che non dovrebbe proprio esserci, C ripete lo stesso errore; nella prop. 20 S ripete: proportione(m) sinum aggregati arcuum ba ac esse maximum, et perinde sinum quadrantis: et ob, C compie la stessa ripetizione; Scolium, S scrive zodaici invece di zodiaci, anche in C troviamo zodaici; b) errori di C (solo alcuni casi esemplificativi). LIBRO I; nella prop.8 C omette: arcus de ad sinum arcus ef. Sed per 6m huius, sicut sinus arcus ab ad sinum arcus bc sic sinus che corrisponde a due mezze righe di S (C è sceso nella riga inferiore copiando S), nella prop.25 C omette: abc cuius latera quadrantibus minora: angulus autem c rectus. Et completis quadrantibus che corrisponde a due mezze righe di S (C è sceso nella riga inferiore copiando S), nella prop.29 C omette: ag ah. Et maior quam differentia arcuum al ak. Itemque differentia arcuum ag ah maior quam differentia arcuum corrisponde a due mezze righe di S (C è sceso nella riga inferiore copiando S). LIBRO II; nella prop.29 C ripete: arcus dl sive anguli bac. Constabitque demonstrandum esse quod dz sinus versus che corrisponde a due mezze righe di S (C è salito alla riga superiore copiando S). Sono significativi, tra gli errori di C, alcune particolari omissioni e ripetizioni: in esse C ripete o omette due mezze righe che in S sono racchiuse tra due parole uguali appartenenti a due righe consecutive. Ciò dimostra uno spostamento del segno di copiatura dall'ultima parola scritta prima dell'errore, alla parola uguale, della riga soprastante (nel caso di ripetizione) o sottostante (nel caso di omissione).
1 Fra cui il teorema del coseno. 2 Non sono pervenute versioni greche delle Sferiche di Menelao. Tale opera si è conservata in versioni arabe (studiate da A. A. Bjornbo Studien \"uber Menelaos Sphärik in Abhandlungen zur Geschichte der Mathematischen Wissenschaften, Leipzig 1902, e da M. Krause Die Sphärik von Menelaos aus Alexandrien in der Verbesserung von Abu Nasr Mansur b. Ali b. 'Iraq in Abhandlungen Der Gesellschaft der Wissenschaften zu G\"ottingen Berlin, 1936). È opinione diffusa l'esistenza di una sola versione latina attribuita a Gerardo da Cremona. Sono oggi in corso studi approfonditi che potrebbero chiarire meglio l'eventuale esistenza di diversi filoni di versioni arabo-latine delle Sferiche di Menelao. Qui si è adottata come versione latina manoscritta di riferimento quella presente nel codice della Biblioteca S. Marco di Venezia Marc. Lat. 328. 3 Si noti che l'enunciato cui nella prefazione si riferisce Maurolico non è il quinto del terzo libro degli Sphaericorum Menelai libri tres ex traditione Maurolyci piuttosto corrisponde a III.7. 4 Tutte queste affermazioni del matematico messinese inducono a credere che egli, in base alle testimonianze a sua disposizione, considerasse l'enunciato III.5 di Menelao relativo a un solo triangolo sferico rettangolo. Dalle informazioni in nostro possesso sembra che tutti i manoscritti della tradizione araba (in base all'analisi di Krause) e quelli della tradizione arabo-latina rappresentati dal Marc. Lat. 328, presentino l'enunciato III.5 nella seguente formulazione: ``Cum fuerint duae figurae trilaterae et fuerint duo anguli ex angulis ambarum qui sunt super duas bases earum aequales acuti et fuerint duo anguli earum reliqui recti et fuerit utrumque duorum laterum earum quae subtenduntur duobus angulis earum reliquis minus quarta circuli tunc proporcio nadir duorum arcuum continentium angulum acutum unius duarum figurarum aggregatorum ad nadir superfluitatis quae est inter eos est sicut proporcio nadir duorum arcuum continentium angulum acutum figurae alterius aggregatorum ad nadir superfluitatis quae est inter eos''.(Il termine nadir usato nel nel manoscritto corrisponde al seno di un arco come metà della corda che sottende il doppio dell'arco) Come si vede, il testo della tradizione manoscritta fa riferimento a due triangoli sferici rettangoli aventi un angolo acuto uguale, per concludere l'uguaglianza dei due rapporti tra i seni degli archi somma e differenza dei due lati che comprendono gli angoli acuti uguali nei due triangoli. Sia nel Marc. Lat. 328 sia nelle versioni arabe esaminate da Krause le dimostrazioni fanno riferimento a costruzioni sulla sfera diverse da quella che Maurolico considera di Menelao. Stando agli studi di Krause la versione ebraica di Ja'qob ben Makir è l'unica che presenta una dimostrazione uguale a quella di II.14 degli Sphaericorum Maurolyci libri II (uguale in III.7 Sphaericorum Menelai ex traditione Maurolyci libri III). Essa dimostra separatamente per i due triangoli sferici ABG, DEZ aventi gli angoli G, Z uguali e acuti, e gli angoli A, D retti le seguenti relazioni: sen (BG+GA) : sen (BG-GA) = (seno totale+sen A^GB) : (seno totale-sen A^GB ) (*) sen (EZ+ZA) : sen (EZ-ZA) = (seno totale+sen D^ZE) : (seno totale-sen D^ZE) da cui, per l'uguaglianza degli angoli A^GB, D^ZE si ottiene la tesi. Con questa presentazione la suddivisione dell'enunciato in due parti è banale e Maurolico nelle proprie Sferiche non fa altro che portare prima l'attenzione su un solo triangolo sferico rettangolo per il quale prova la relazione (*), con la stessa dimostrazione presente in Ja'qob ben Makir. Allora l'enunciato di Menelao (III.5 Marc. Lat. 328) su due triangoli sferici ne deriva banalmente e Maurolico lo inserisce come III.8 negli Sphaericorum Menelai ex traditione Maurolyci libri III riproponendo lo stesso ragionamento del manoscritto ebraico. Negli Sphaericorum Maurolyci libri II invece l'enunciato III.5 di Menelao compare non come corollario diretto di II.14, ma come corollario di un enunciato che presenta la stessa relazione di II.14 ma utilizzando i seni versi: al secondo membro di (*) compaiono i due seni versi associati all'angolo A^GB e Maurolico, in II.17 lo rende esplicito visualizzando su un cerchio disegnato sul piano del foglio, avente raggio uguale al raggio della sfera un arco uguale a quello associato a A^GB. Da qui deriva l'enunciato di Menelao per due triangoli sferici rettangoli aventi due angoli acuti uguali, presentato in II.18. Rimane ancora aperto il problema dell'esistenza di una fonte latina da cui Maurolico possa essere venuto a conoscenza della versione presente in Ja'qob ben Makir. 5 In particolare Maurolico porta l'attenzione sul calcolo di declinazione, ascensione e differenza ascensionale di un astro del quale siano note le coordinate eclittiche. Gli stessi argomenti chiudevano il libro primo dell'Almagesto e dell'Epitoma Almagesti, dove Peuerbach e Regiomontano mettevano in relazione questi risultati con i teoremi del seno e del coseno 6 Maurolyci Sphaericorum libri duo, c. 59v 7 Si noti che lo stesso procedimento viene indicato nell'ultima proposizione del primo libro dell'Epitoma Almagesti 8 Edizione E. Ratdolt, Venetiis 1482 9 F.L.7472A c.89v 10 Theonis Data, c. 13r 11 F. L. 7468, c. 17v 12 La lettera è datata 8 Agosto 1556. Per una discussione accurata del contenuto e della data di effettiva composizione, si veda A.C. Garibaldi ``I programmi mauroliciani'' in Atti del convegno Maurolico e le matematiche del Rinascimento. Convegno internazionale di studi. Messina 16-19 Ottobre 2002 13 c. 8r - 8v 14 Theodosii Tripolitae Sphaericorum Libri III, a Christophoro Clavio Bambergensi Societatis Jesu perspicuis demonstrationibus ac scholiis illustrati. Item eiusdem Christophori Clavii Sinus, Lineae Tangentes, et Secantes, Triangula Rectilinea, atque Sphaerica. Romae, ex typographia Dominici Basae. MDLXXXVI 15 Ad essi vanno aggiunti gli excerpta che occupano i ff. 10r-11v nel ms. London, Bodleian Library, 6556. Per una descrizione dei manoscritti, si veda il catalogo descrittivo di R. Moscheo 16 Ad essi vanno aggiunti gli excerpta che occupano i ff. 25r-28v nel ms. London, Bodleian Library, 6556. Per una descrizione dei manoscritti, si veda il catalogo descrittivo di R. Moscheo 17 Le uniche varianti che non compaiono in apparato riguardano il dittongo ae 18 Meno significativi sono gli errori presenti in S e corretti in C: si tratta in genere di errori di stampa in S (es. ``sinn'' per sinu, ``siut'' per sint...) che compaiono invece corretti in C. Sono tutti segnalati in apparato
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