PROPOSITIO XIII

95 In duobus triangulis rectangulis ex arcubus circulorum maiorum in superficie sphaerae, ratio sinuum duorum arcuum acutis angulis oppositorum componitur ex duabus, quarum una est ratio sinuum arcubus rectos respicientibus debitorum, altera ratio sinuum dictorum acutorum angulorum.

96 Sint in superficie sphaerae duo triangula abc def ex arcubus circulorum maiorum, quorum qui ad c f anguli recti: aio quod ratio sinuum arcuum acutis oppositorum, utpote arcuum bc ef componitur ex duabus, scilicet ex ratione sinuum arcuum ab de et ex ratione sinuum angulorum a d. 97 Nam si arcus ab de sint aequales, constat propositum ex praemissa. 98 Si autem inaequales sit maior ab et ponatur ipsi de aequalis arcus ag et ducatur arcus circuli magni gh perpendicularis ad arcum ac. 99 Et tunc posito medio sinu arcus gh, ratio sinus arcus bc ad sinum arcus ef componetur ex ratione sinus arcus bc ad sinum arcus gh et ex ratione sinus arcus gh ad sinum arcus ef sicut per 7^m17 huius, sicut sinus arcus bc ad sinum arcus gh sic sinus arcus ab ad sinum arcus ag hoc est arcus de. 100 Per praecedentem autem sicut sinus arcus gh ad sinum arcus ef sic sinus anguli a ad sinum anguli d. Igitur ratio sinus arcus bc ad sinum arcus ef componetur ex ratione sinus arcus ab ad sinum arcus de et ex ratione sinus anguli a ad sinum anguli d. Quod erat demonstrandum.