PROPOSITIO XIIII
91 Quod decima quodque duodecima huius demonstrant, adhuc aliter demonstrare.
92 Sit demum in superficie sphaerae triangulum abc ex circulis maioribus rectum habens angulum bca, angulum vero bac acutum. Positoque polo a, describatur ad spacium ab circulus bde et arcus ac producatur utrinque, donec coincidat periferiae circuli descripti ad puncta d e. 93 Eritque per diffinitionem poli, tam arcus ad quam arcus ae aequalis arcui ab. Quare arcus cae erit aggregatum ex arcubus ba ac, arcus vero cd erit differentia eorumdem arcuum ba ac. 94 Demonstrandum est igitur, ut prius quod sinus arcus cae ad sinum arcus cd est sicut aggregatum ex sinu toto sinuque anguli bac secundo ad differentiam eorumdem sinuum, 3o modo sic. 95 Sit sphaerae centrum h, item communis sectio circulorum ab ac sit recta afh, communes autem sectiones eorundem circulorum cum circulo bde sint rectae bf dfe. 96 Coniungatur autem c h secans chordam de in puncto g, coniugatur et b g quae, cum sit communis sectio circulorum bc bde stantium ad angulos rectos super circulum acd erit per 19m 11 Euclidis, perpendicularis ad planum circuli acd et ideo perpendicularis tam ad rectam de quam ad rectam ch. 97 Et per eadem, quoniam af perpendicularis est ad circulum bde erit et perpendicularis tam ad rectam bf quam ad rectam fd, sive per 10m primi Elementorum Theodosii. Eritque per eandemet per corollarium primae primi eorundem Elementorum, punctum f centrum circuli bde, atque angulus rectilineus bfd erit angulus inclinationis circulorum ab ac. 98 Itaque posito sinu toto bf, quae semidiameter est circuli bde, erit per primam praecedentis libri, linea bg sinus anguli bfd hoc est anguli bac atque linea gf sinus secundus eiusdem anguli. 99 Quare linea eg erit aggregatum ex sinu toto scilicet ef sinuque secundo anguli bac scilicet gf, linea vero gd differentia eorundem. 100 Itaque demonstrandum est quod <sinus25> arcus cae ad sinum arcus cd est sicut linea eg26 ad lineam gd, quod quidem constat per praecedentem. Quandoquidem linea hgc semidiameter circuli dae secat chordam de in puncto g arcumque daein puncto c. Et hoc, ut antea, tertio iam hic proponitur demonstrandum.