PROPOSITIO XXVIIII

171 Iisdem suppositis si sinus secundus arcus acuto oppositi sit medius proportionalis inter sinum totum³⁵ secundum eiusdem acuti: tunc arcuum comprehendentium ipsum acutum differentia erit maxima differentiarum, quibus differunt quilibet duo arcus eundem angulum complectentes ab angulo ad quemlibet alium quadrantem recepti.

172 In eadem descriptione ponatur sinus arcus fb medius proportionalis inter sinum totum sinumque³⁶sinumque arcus fe: aio quod arcusab ac maxime differunt, quam differre possint quilibet alii duo arcus ab angulo a ad alium quemlibet quadrantem a puncto f descendentem recepti. 173 Ducantur enim circulorum maiorum quadrantes, utrinque a quadrante fc qui sint³⁷ fgh flk. Itemque duo alii hinc et inde fmn fqp, secantes quidem quadrantem ae in punctis m, g, l, q. Incidentes vero quadranti ad in punctis n, h, k, p. 174 Demonstrandum est quod differentia arcuum ab ac maior quam differentia arcuum ag³⁸ah. Et maior quam differentia arcuum al ak. Itemque differentia arcuum ag ah maior quam differentia arcuum am an, et differentia arcuum al ak maior, quam differentia arcuum aq ap, hoc modo. 175 Ducantur circulorum maiorum arcus gs lr³⁹ perpendiculares ad arcum fc, item arcus mt qy perpendiculares ad arcum fh fk. 176 Eritque maior sinus arcus cf ad sinum arcus fb quam sinus arcus hf ad sinum arcus fg. Sicut per hypothesim, sicut sinus arcus cf sinus⁴⁰ scilicet totus ad sinum arcus fb sic sinus arcus fb ad sinum arcus fe. 177 Igitur maior sinus arcus bf ad sinum arcus fe quam sinus arcus hf ad sinum arcus fg. Per 7^m autem huius, sicut sinus arcus bf ad sinum arcus fe sic sinus arcus bg ad sinum arcus gs. Et per 6^m, sicut sinus arcus hf ad sinum arcus fg sic sinus arcus hc ad sinum arcus gs. 178 Ergo et maior sinus arcus bg ad sinum arcus gs quam sinus arcus hc ad sinum arcus gs, quarum, maior erit sinus arcus bg sinu arcus hc et perinde arcus bg maior arcu hc. Igitur et maior differentia arcuum ab ac quam differentia arcuum ag ah. Quod est primum. 179 Rursum maior erit sinus arcus kf ad sinum arcus fl quam sinus arcus cf ad sinum arcus fb et ideo quam sinus arcus bf ad sinum arcus fe. Sicut per 6^m huius, sicut sinus arcus kf ad sinum arcus fl sic sinus arcus ck ad sinum arcus lr. Et per 7^m, sicut sinus arcus bf ad sinum arcus fe sic sicut sinus arcus bl ad sinum arcus lr. 180 Igitur maior erit sinus arcus ck ad sinum arcus lr quam sinus arcus bl ad sinum arcus lr, quarum maior erit sinus arcus ck sinu⁴¹ arcus bl, et ideo arcus ck maior arcu bl. Quo fit ut maior sit differentia arcuum ba ac quam differentia arcuum al ak. Quod est secundum. 181 Adhuc maior erit sinus arcus gf ad sinum arcus fe quam sinus arcus bf ad sinum arcus fe et ideo, quam sinus arcus cf ad sinum arcus fb et a fortiori, quam sinus arcus nf ad sinum arcus fm. Sed per 7^m huius, sicut sinus arcus gf ad sinum arcus fe sic sinus arcus gm ad sinum arcus mt. Per 6^m autem, sicut sinus arcus nf ad sinum arcus [S:50r] fm sic sinus arcus nh ad sinum arcus mt. 182 Igitur maior sinus arcus gm ad sinum arcus mt quam sinus arcus nh ad sinum arcus mt. Et ob id maior erit sinus arcus gm sinu arcus nh et propterea maior arcus gm arcu nh. Fit ergo ut maior sit differentia arcuum ag ah quam differentia arcuum am an. Quod erat tertium. 183 Demum maior erit sinus arcus pf ad sinum arcus fq quam sinus arcus cf ad sinum arcus fb et ideo quam sinus arcus bf ad sinum arcus fe et a fortiori, quam sinus arcus lf ad sinum arcus fe. Sed per 6^m huius, sicut sinus arcus pf ad sinum arcus fq sic sinus arcus kp ad sinum arcus qy. Et per 7^m, sicut sinus arcus lf ad sinum arcus fe sic sinus arcus lq sinum arcus qy. 184 Igitur maior sinus arcus kp ad sinum arcus qy quam sinus arcus lq ad sinum arcus qy. Itaque maior sinus arcus kp sinu arcus lq et idcirco maior arcus kp arcu lq. Unde sequitur, ut maior sit differentia arcuum al ak quam differentia arcuum aq ap. Quod fuit quartum demonstrandorum.