PROPOSITIO XX

130 In triangulo ex arcubus circulorum maiorum rectangulo in superficie sphaerae arcus acutum angulum continentes, dum quadrantem perficiunt: maxime differunt qui sub eodem angulo sive breviati sive producti differre possint. 131 Contra, si huiusmodi arcus maxime praedicto modo differant: et coniuncti quadrantem circuli conflabunt.

132 Sit in superficie sphaerae triangulum abc ex arcubus circulorum maiorum rectum ad c angulum et acutos reliquos habens, ponaturque aggregatum arcuum ba ac quadrans: aio quod differentia arcuum ab ac maxima est earum, quibus differunt iidem arcus sive breviores facti sive producti sub eodem acuto angulo a anguloque recto c servatis. 133 Producantur enim arcus ab ac et brevientur. Ponanturque circulorum maiorum arcus de fg perpendiculares ad arcum agce. 134 Eritque per 18^m huius, sinus aggregati arcuum ba ac ad sinum arcus differentiae eorum, sicut sinus aggregati arcuum da ae ad sinum arcus differentiae eorum. 135 Sed maior est sinus aggregati arcuum ba ac quam sinus aggregati arcuum da ae. Quandoquidem sinus aggregati arcuum ba ac est sinus quadrantis, hoc est sinus totus, qui circuli semidiameter, et sinuum maximus est. 136 Igitur et maior erit sinus arcus differentiae arcuum ba ac quam sinus arcus differentiae arcuum da ae. Quare et ipsa arcuum ba ac differentia maior erit quam arcuum da ae differentia. Similiter et maior demonstrabitur demonstrabitur³⁴ quam arcuum fa ag differentia. 137 Non aliter, si brevientur fa ag ducto perpendiculari arcu hk ad arcum ac demonstrabitur maior sinus differentiae arcuum fa ag quam sinus differentiae arcuum ha ak. 138 Quandoquidem maior sinus aggregati arcuum fa ag quam sinus³⁵ aggregati arcuum ha ak et perinde maior differentia arcuum fa ag quam differentia arcuum ha ak. 139 Nec secus si producantur adhuc ad ae et ducatur perpendicularis³⁶ arcus lm eodem argumento: ostendetur maior differentia arcuum da ae quam differentia arcuum³⁷ la am. Quandoquidem maior sinus aggregati arcuum da ae quam sinus aggregati arcuum la am. 140 Verum ergo est quod proponitur, arcuum scilicet ba ac quadrantem perficientium maximam esse differentiam.

141 Contra, ponatur arcuum ba ac differentia maxima: aio quod eorundem arcuum aggregatum erit quadrans. 142 Demonstrabimus enim per 18^mpraedictam et conversam proportionem³⁸ sinum aggregati arcuum ba ac esse maximum, et perinde sinum quadrantis: et ob[S:57r] id tale arcuum aggregatum esse quadrantem. 143 Vel aliter indirecte nam si quadrans non sit aggregatum arcuum³⁹ ba ac, esto si possibile est, quadrans aggregatum arcuum da ae. Igitur ut dudum ostensum est. Differentia arcuum da ae maxima erit et ideo maior quam differentia arcuum ba ac. Quod adversatur supposito. 144 Supponitur enim arcuum ba ac differentia maxima. Igitur nulli alii duo arcus, quam ba ac quadrantes conficiunt. Et hoc superat de propositione demonstrandum.