PROPOSITIO XV

105 Si in duobus triangulis rectangulis ex arcubus circulorum maiorum in superficie sphaerae, sinus arcuum rectis angulis oppositorum fuerint sinibus acutorum angulorum ordine permutato proportionales: aequales erunt arcus, qui acutos subtendunt. 106 Quod si aequales sint arcus acutis angulis subtensi: et sinus arcuum rectis oppositorum erunt sinibus acutorum ipsorum ordine permutato proportionales.

107 Sint in superficie sphaerae duo triangula abc def ex arcubus circulorum maiorum, quorum c f anguli recti, et sicut est sinus arcus ab ad sinum arcus de sic sinus anguli d ad sinum anguli a: aio quod aequales sunt arcus bc ef. 108 Namque ex tali proportione, per 15^msexti Euclidis, quadrangulum quod ex sinibus arcus ab et anguli a aequale est quadrangulo quod ex sinibus arcus de et anguli d. 109 Sed per praecedentem, sicut est illud quadrangulum ad hoc quadrangulum sic sinus arcus bc ad sinum arcus ef. Igitur sinus huiusmodi aequales sunt. Et perinde arcus ipsi bc ef aequales.

110 Sint vero arcus bc ef aequales: aio tunc quod sicut est sinus arcus ab ad sinum arcus de sic erit sinus anguli d ad sinum anguli a. 111 Tunc enim praedicta duo quadrangula sinibus arcuum bc ef iampridem per hypothesim aequalibus proportionalia aequalia erunt. Quare per 15^m sexti, latera rectangulorum erunt ordine permutato proportionalia, hoc est sicut sinus arcus ab ad sinum arcus de sic sinus anguli d ad sinum anguli a. Quae fuit pars altera propositi.