PROPOSITIO III

28 Trianguli ex arcubus circulorum magnorum in superficie sphaerae constituti, quorum duo sunt quadrantes: anguli quadrantibus oppositi sunt recti. 29 Contra si recti sint anguli, arcus illis oppositi sunt quadrantes. 30 Polus autem tertii arcus est in ipsorum quadrantum concursu.

31 Sit in superficie sphaerae ex arcubus circulorum magnorum triangulum abc sintque ab ac quadrantes: aio quod anguli abc bca recti sunt. 32 Producantur enim arcus ab ac donec coincidant⁴ apud d. Eruntque per 15^m primi Elementorum Theodosii, arcus abd dca semicirculi et perinde arcus cd db quadrantes. 33 Quare per 14^m secundi, circulus bc incedit per polos circulorum abd dca et ideo per 19^m primi, circulus bc secat utrumque circulorum abd dca orthogonaliter. Igitur anguli qui ad b c recti sunt. Quod erat demonstrandum.

34 Contra sint anguli, qui ad b c recti: aio quod arcus ab ac sunt quadrantes. 35 Nam si recti sint, ad b c anguli iam, per 17^m primi, circulus bc transit per polos tam circuli abd quam circuli dca. Quare, per 12^m secundi, secant portiones abd dca per aequalia: verum semicirculi sunt abd dca, ergo ab ac quadrantes. Quod erat alterum ex demonstrandis. 36 Porro quoniam recti sunt, qui ad b c anguli ideo⁵, per 17^m praedictam⁶ ipsi ab ac circuli transeunt per polos circuli bc. Quo fit ut ipsius bc circuli polus alibi, quam in a puncto esse non possit. Quod supererat demonstrandum. 37 Unde manifestum est quod triangulum in superficie sphaerae ex tribus quadrantibus constitutum circulorum maiorum habet tres angulos rectos. 38 Contra, si tres rectos habet angulos, constabit ex tribus quadrantibus. 39 Poli autem uniuscuiusque quadrantum erunt in duorum reliquorum concursu.