Archimedes

2 ott. 2002

Collaboratori
Riccardo Bellé, Ioanna Mountriza,
Pier Daniele Napolitani, Lorena Passalacqua,
Lucio Sarti, Jean-Pierre Sutto,
Roberta Tassora, Roberta Tucci

• 1  Struttura del volume
• 2  Le Opera Archimedis ex traditione Maurolyci
• 2.1  Le vicende editoriali dell'Archimedes
• 2.2  La datazione dei testi.
• 2.3  La presente edizione
• 3  Le Demonstrationes quaedam de centro gravitatis
• 4  I Fragmenta

1  Struttura del volume

In questo volume sono raccolti i testi relativi alle ricerche archimedee di Maurolico. Oltre alle edizioni e ai rifacimenti di opere di Archimede, nel volume sono inclusi quindi anche la Praeparatio ad Archimedis Opera, una sorta di introduzione ricca di lemmi e risultati originali; un breve trattato sul centro di gravità del paraboloide di rotazione (la De centro solidi parabolae demonstratio acutissima e alcuni frammenti relativi ai centri di gravità; frammenti relativi alla determinazione di due medie proporzionali fra due grandezze date, incluse in questo volume in quanto direttamente collegate a materiali presenti nella Praeparatio; infine un frammento relativo al problema di Dionisodoro sulla divisione di una sfera in due segmenti aventi un rapporto dato che si ricollega a un problema affrontato da Maurolico nella sua esposizione del De sphaera et cylindro.

Come si discuterà qui sotto, i testi di Archimede ``ex traditione Maurolyci'' ci sono tutti pervenuti (con la sola eccezione del De circuli dimensione liber di cui possediamo un manoscritto autografo) attraverso l'edizione palermitana del 1685 Admirandi Archimedis Syracusani Monumenta omnia mathematica ... ex traditione doctissimi viri D. Francisci Maurolici e presentano una certa caratteristica di organicità e sono tutti datati. Gli altri testi ci sono pervenuti invece tramite manoscritti autografi e, con la sola eccezione De centro solidi parabolae sono essenzialmente frammenti variamente datati o databili. Per questo motivo il volume è strutturato nelle seguenti tre sezioni

1. Opera Archimedis ex traditione Maurolyci, che include i testi presenti nell'edizione del 1685 e la Praeparatio, ad essi inscindibilmente legata:

   1. Praeparatio ad Archimedis opera

   2. Archimedis de circuli dimensione liber

   3. Archimedis liber de sphaera, et cylindro

   4. De momentis aequalibus

   5. Quadratura parabolae

   6. Archimedis de lineis spiralibus

   7. Archimedis de conoidibus et sphaeroidibus figuris

2. Demonstrationes quaedam de centro gravitatis, che include il De centro solidi parabolae e altri due frammenti relativi al centro di gravità:

   1. De centro solidi parabolae demonstratio acutissima;

   2. Collatio aliorum centrorum

   3. Brevis demonstratio centri in parabola

3. Fragmenta

   1. De mediis proportionalibus

   2. De Dionisydori problemate

2  Le Opera Archimedis ex traditione Maurolyci

Come si è già accennato, tutti testi presenti in questa sezione ci sono pervenuti attraverso l'edizione del 1685, che vide la luce a Palermo più di un secolo dopo la morte del suo autore, al termine di una vicenda nella quale si intrecciano imprese editoriali e traversie politiche. Cominceremo quindi col cercare di chiarirle.

2.1  Le vicende editoriali dell'Archimedes

Gli eventi che condussero alla pubblicazione del testo mauroliciano sono stati ampiamente descritti da Rosario Moscheo¹. Pur rimandando il lettore ai testi citati per una narrazione di più ampio respiro, non potremo esimerci qui dal riassumere, anche se solo sommariamente, l'intreccio di circostanze che hanno condotto alla pubblicazione dell'opera e alla contemporanea dispersione dei manoscritti relativi.

Dopo la morte di Maurolico, avvenuta nel 1575, la maggior parte dei manoscritti inediti, tra i quali quelli relativi alle opere di Archimede, erano passati ai suoi eredi², che si limitarono a custodirli senza mai pensare a una loro edizione, che per la mole delle opere lasciate sarebbe risultata onerosissima. Ciò non vuol dire comunque che le opere del messinese fossero dimenticate; nel secolo successivo alla morte di Maurolico si registrano infatti almeno tre iniziative editoriali concluse positivamente: la prima fu la pubblicazione a Napoli nel 1611, per interessamento del gesuita Giovanni Giacomo Staserio, allievo di Cristoforo Clavio, dei Photismi de lumine et umbra, seguita due anni dopo dai Problemata mechanica, pubblicati a Messina per cura del nipote di Murolico Silvestro. Sempre a Messina uscirà nel 1654 l'Emendatio et restitutio conicorum Apollonii Pergaei, cui sembra collaborasse Giovanni Alfonso Borelli, all'epoca professore di matematica nell'Università messinese.

Sempre al Borelli, stavolta con vicende molto più complesse e per qualche verso romanzesche, è legata la pubblicazione dell'Archimede.

Come si è detto, i manoscritti di Maurolico erano restati dopo la sua morte nelle mani dei suoi familiari. Verso la metà del Seicento, vuoi perché la famiglia attraversava un periodo di decadenza, vuoi per semplice incuria e disinteresse, venne proposto a un medico e ``aromatario'' messinese, Lorenzo Di Tommaso, di accettare in pagamento delle proprie cure alcuni dei manoscritti mauroliciani restati nelle loro mani, e tra questi i lavori attinenti alle opere di Archimede. Il Di Tommaso acconsentì alla proposta, e venuto in possesso dei manoscritti si mise subito all'opera, con l'aiuto del Borelli che nel 1667 era rientrato a Messina, per procurarne la stampa. Per questo in effetti ottenne una sovvenzione di 100 onze dal Senato della città, con le quali poté iniziare la stampa dell'opera presso l'editore Paolo Bonacota.

La stampa si protrasse per vari anni, ed era quasi giunta alla sua conclusione nel 1672, quando gravi sconvolgimenti politici vennero a interrompere il progetto. Nell'aprile di quell'anno, a seguito di disordini scoppiati in città, il governatore spagnolo di Messina, Don Luis de l'Hoyo, dichiarava ribelli un certo numero di cittadini messinesi, tra i quali per l'appunto il Borelli, che veniva considerato addirittura uno dei capi della ``setta antispagnola''. Quest'ultimo, che all'epoca del bando non si trovava a Messina, sfuggì all'arresto, ma nonostante la revoca dello stesso fatta pochi mesi dopo dal viceré ritenne opportuno abbandonare l'isola e si trasferì prima in Calabria e poi a Roma, dove rimase fino alla morte nel 1679. Con la sua partenza si interrompeva la collaborazione col Di Tommaso, e allo stesso tempo veniva sospesa la pubblicazione dell'Archimede.

A complicare ulteriormente le cose, due anni più tardi, nel 1674, scoppiò a Messina una rivolta ben più grave di quella che aveva costretto Borelli alla fuga, a seguito della quale gli spagnoli dovettero abbandonare la città. In queste vicende ebbe un ruolo di primo piano proprio il Di Tommaso, che era invece rimasto estraneo agli eventi di due anni prima, o quanto meno era riuscito a passare inosservato. Al ritorno degli spagnoli nel 1678 i beni del Di Tommaso vennero sequestrati, e tra questi i fogli dell'Archimede stampati dal Bonacota, ancora slegati e incompleti, che vennero venduti all'incanto insieme ad altri beni confiscati. Questo materiale stampato, consistente in 425 esemplari in folio dell'edizione incompiuta, e forse anche gli autografi di Maurolico che erano serviti per la sua preparazione, venne acquistato dall'editore palermitano Juan Silvestre Salva, che completò la stampa dell'opera aggiungendovi una parte finale e i fogli iniziali in cui narrava tra varie reticenze le vicende editoriali, e finalmente la diede alla luce nel 1685 sotto il nome di Cyllenio Esperio.

Le due parti dell'edizione sono facilmente riconoscibili sia per la differenza dei caratteri e degli intagli che per la qualità della carta: di tipo migliore quella messinese, che reca in filigrana tre linee sormontate da un cerchio, più rozza e senza filigrana quella usata dal Salva. I fogli ``messinesi'' occupano le pagine 1-272, mentre quelli ``palermitani'' prendono le prime quattro carte non numerate e le pagine da 273 alla fine; vi sono però esemplari nei quali il quaderno Z (pagine 177-184) è del tipo palermitano, e contiene anche alcune varianti minori rispetto all'edizione messinese. Anche da rilevare una peculiarità tipografica: a partire dalla pagina 198 tutte le voci triangulum, quadratum, rectangulum e connesse, con la sola eccezione di quelle che appaiono negli enunciati delle proposizioni, sono stampate sistematicamente nella forma abbreviata tri lum, tria lum o trian lum, qua tum o quad tum, rec lum o rect lum. Solo alla fine, nelle pagine stampate a Palermo, esse ritornano ad essere scritte nella forma completa. Si noti che ciò avviene solo nell'Arenario e nei Galleggianti, che per dichiarazione dello stesso Salva sono ripresi dalle edizioni del Commandino³ e del Rivault⁴, peraltro uguali tra loro nelle parti comuni, mentre le pagine finali dei Conoidi e sferoidi, pure di impressione palermitana, riportano ancora le forme abbreviate.

Lo stesso fenomeno si può notare nella stampa dell'Emendatio ac restitutio del 1654, stavolta però in ordine inverso: mentre la prima parte riporta le forme abbreviate, in alcuni casi anche negli enunciati delle proposizioni, a partire dalla pagina 118 appaiono, con rare eccezioni, solo i termini completi.

Queste circostanze inducono a formulare l'ipotesi di un intervento esterno, che abbia consigliato, o addirittura imposto, al tipografo lo scioglimento delle abbreviature, venuto meno il quale lo stampatore abbia ripreso a seguire pedissequamente il manoscritto, riproducendolo il più esattamente possibile, ivi comprese le abbreviazioni dei termini più comuni. Non è del tutto arbitrario pensare che il curatore sia proprio il Borelli, che avrebbe assunto la direzione scientifica dell'edizione dell' Emendatio quando questa era già in uno stato avanzato, e avrebbe lasciato a mezzo quella dell'Archimede per le vicende alle quali abbiamo fatto cenno. In ogni caso, le date sembrano concordare.

2.2  La datazione dei testi.

In calce ad ognuna delle opere edite, l'edizione a stampa riporta il luogo e la data del loro compimento, presumibilmente apposti dallo stesso Maurolico⁵. Nell'ordine, esse sono:

• Praeparatio ad Archimedis Opera: Thermis, 13 febbraio 1550,

• De circuli dimensione: 19 agosto 1534

• De sphaera et cylindro: Messina, 10 settembre 1534

• De momentis aequalibus I: Castellobono, 6 dicembre 1547

• De momentis aequalibus II: Castellobono, 19 dicembre 1547

• De momentis aequalibus III: Castellobono, 30 dicembre 1547

• De momentis aequalibus IV: Palermo, 23 gennaio 1518 (recte 1548)

• Quadratura parabolae: Messina, 23 luglio 1534

• De lineis spiralibus: Castellobono, 18 ottobre 1549

• De conoidibus et sphaeroidibus: Castellobono, 17 dicembre 1549.

A un primo esame i lavori di Maurolico sui testi di Archimede si presentano dunque in due fasi successive: la prima nell'estate del 1534, quando Maurolico termina in rapida successione la Quadratura della parabola, la Misura del cerchio, e la Sfera e cilindro; la seconda negli anni 1547-50, in cui, vengono affrontati i quattro libri degli Equiponderanti, finiti in poco più di un mese nel gennaio 1548, le Spirali e i Conoidi e sferoidi nell'autunno 1549, e da ultima la Preparatio introduttoria nel 1550.

In realtà le cose non sono così semplici. Da una parte infatti non si può non rilevare la concentrazione di una serie di opere in brevi lassi di tempo: meno di tre mesi per i tre testi del 1534, due per i quattro libri degli De momentis aequalibus, per di più a cavallo del Natale, due ancora per le due opere del 1549; circostanza questa che fa pensare che le date si riferiscano più alla redazione definitiva che all'effettiva composizione delle opere. E d'altra parte non mancano documenti che suggeriscono almeno in alcuni casi delle date anteriori a quelle indicate.

Il primo di questi è costituito dall'introduzione dei Grammaticorum rudimentorum libelli sex, un'opera che Maurolico pubblicò nel 1528. In esso leggiamo:

Quidquid enim Syracusius Archimedes de circuli dimensione: de Sphaera & Cylindro: deque momentibus aequalibus disseruit, ego quoque apertissime demonstravi: demostravi inquam prius, quam ipsius Archimedis opera vidissem⁶.

Abbiamo dunque da un lato una conferma delle date di composizione della Quadratura del cerchio e della Sfera e cilindro, e dall'altro una retrodatazione del De momentis aequalibus, che almeno in parte sarebbero stati composti prima del 1528. Di tutte e tre queste opere Maurolico afferma di averle condotte a termine prima di aver visto le opere di Archimede. In effetti, il loro impianto è totalmente diverso da quello dei corrispondenti testi archimedei: delle 38 proposizioni della Sfera e cilindro solo 13 hanno il loro corrispettivo nell'opera del siracusano, a fronte delle tre proposizioni che compongono la Quadratura del cerchio di Archimede, quella di Maurolico ne contiene 12, più due non numerate nelle quali Maurolico discute la quadratura di Ippocrate e ne propone due proprie.

L'ultima di queste si basa sulla conoscenza dei centri di gravità del quadrante di cerchio, del triangolo inscritto, e della parte residua, centri che vengono trovati appendendo le figure in due punti diversi e sfruttando il fatto che il centro di gravità si trova sulla verticale del punto di sospensione. Poiché il centro di gravità del quadrante sta nel punto di equilibrio del triangolo e della parte restante, ed essendo nota l'area del triangolo, dalla legge della leva si trova allora l'area della parte restante, e di qui quella del cerchio.

Per tutti i risultati relativi ai centri di gravità, Maurolico rinvia a un libellus de momentis aequalibus, un'ulteriore conferma che la data di composizione di quest'ultima opera, o quanto meno di parte di essa, deve essere retrodatata.

Un discorso a parte merita la Quadratura della parabola. Di essa Maurolico non fa menzione nello scritto del 1528; inoltre, a differenza delle opere lì menzionate, questa segue in maniera pedissequa la corrispondente opera di Archimede, almeno per quanto riguarda gli enunciati. La chiave di questa situazione può essere nella frase che Maurolico scrive al termine dell'opera:

Hic Archimedis De Quadratura Parabolae Libellus ex corruptissimo, quod circumfertur, exemplari, labore, & industria Francisci Maurolici Mathematicae disciplinae studiosissimi correctus, & restitutus est: cui tamen prius fuit necessarium aequalium momentorum libellum praedicti authoris, & Apollonij conica elementa incredibili mentis perspicacia reparare, sine quibus tota praesentis libelli structura corruet, utpote quae illis tamquam fundamenta innititur.

Marshall Clagett ha dimostrato nel suo Archimedes in the Middle Ages che l'esemplare corrotto a cui Maurolico si riferisce è in effetti l'edizione della Quadratura del cerchio e della Quadratura della parabola, procurata nel 1503 da Luca Gaurico⁷; all'epoca in cui Maurolico scrive non c'erano altre edizioni di opere di Archimede⁸; inoltre le parole quod circumfertur difficilmente si possono riferire a un codice.

Sempre il Tetragonismus sembrerebbe essere l'opera di Archimede che Maurolico aveva visto nel 1528, quando a suo dire aveva già dimostrato tutto quanto era contenuto nella Quadratura del cerchio, nella Sfera e cilindro, e negli Equiponderanti. Alla stessa opera sembra riferirsi nella lettera a Pietro Bembo del 1536:

Archimedis opera de circuli dimensione, de Sphaera et Cylindro, de Isoperimetris, de momentis aequalibus, de Quadratura parabolae, de Speculis ignificis nusquam apparent, non secus ac si admisso inexpiabili perpetuum meruerint exilium. Et horum si quid circumfertur, tot tantisque scatet mendis, ut vix etiam ab authore ipso emendari possit

nella quale compaiono per la prima volta altre due opere, De Isoperimetris e De speculis ignificis che la tradizione medievale attribuiva ad Archimede.

In definitiva, tutto sembra confermare che la composizione delle opere che portano la data 1534 sia avvenuta molto presto; prima del 1528 per la Quadratura del cerchio e per la Sfera e cilindro, intorno a quella data per la Quadratura della parabola.

Di tipo nettamente diverso sono i testi del 1549. Sia le Spirali che i Conoidi e sferoidi seguono, anche se con alcune varianti, le linee delle corrispondenti opere di Archimede, che avevano visto la luce nell'edizione di Basilea, procurata da Thomas Geschauff (Venatorius) nel 1544. Con ogni probabilità Maurolico, che di queste opere non aveva notizia, si cimenta con esse dopo aver visto l'edizione basileense, e le inserisce nel suo Archimede senza apportarvi modifiche sostanziali.

Questa cronologia è confermata dai vari elenchi che Maurolico andava via via facendo delle proprie elucubrazioni, sia sotto forma epistolare che come indices lucubrationum. Nella lettera con la quale dedicava a Pietro Bembo la sua Cosmographia, pubblicata nel 1543 ma datata 1540, compaiono le opere del 1534, il De momentis e ancora gli Isoperimetri e gli Specchi ustori:

Porro tam aliena, quam mea, modo locum aliquem mereantur, decreveram in quatuor sectiones distinguere. quorum indicem cum ipsorum operum titulis, ac quasi argumentis exponem** ante dialogos: ut inde, si maiores curae cesserint; examines laborem meum. sed ne pluribus, quam opus sit, agam, eccum indicem ipsum.

In prima sectione.

[...] Archimedis Syracusani de circuli dimensione libellus cum calculo nostro ad mensuram peripheriae propius accedente.

Eiusdem de sphaera et cylindro ex traditione Eutotij Ascalonitae.

Eiusdem, de isoperimetris figuris tam planis, quam solidis: ubi planarum circulus, solidarum vero figurarum isoperimetrarum sphaera concluditur esse maxima.

In secunda sectione.

[...] Archimedis libellus de speculis comburentibus: in quo docet ac ostendit, speculo, ut sit ad comburendum efficacissimum, formam dandam esse a parabola, quae est una ex conicis sectionibus. quare negotium huiusmodi intelligere volenti opus esse notitia conicorum elementorum.

[...] Archimedis de momentis aequalibus, sive de aequeponderantibus libellus ex traditione Eutotii Ascalonitae.

Eiusdem libellus de quadratura parabolae acutissimus: quem intelligere volenti opus est conicorum & momentorum aequalium notitia.

[...] Tetragonismus, sive quadratura circuli Hippocratis, Archimedis et aliorum.

mentre nella lettera a Juan de Vega, datata 1556, il panorama si è arricchito fino a comprendere la totalità dei testi che confluiranno nell'Archimede, ordinate secondo un possibile progetto editoriale:

[...] Postulat ordo hic Archimedis opera, quorum primum ego facio illud, quod de circuli dimensione inscribitur. Proximum quod de isoperimetris figuris: ubi circulus inter planas et sphaera inter solidas isoperimetras figuras capacissima convincitur. Tertium de spiralibus lineis acutissimus. Quartum de momentis aequalibus. Quintum de quadratura parabolae quod innititur quarti demonstrationibus⁹. Sextum de sphaera et cylindro: quandoquidem plana solidis praeponenda sunt. Septimum de sphaeroidibus et conoidibus. Octavum de speculis comburentibus. Ultimum de harenae numero, quod meo iudicio negligendum est. Ex his duo, quae de isoperimetris et de speculis comburentibus non extant in iis, quae impressa circumferuntur: tamen Archimedis adscribuntur. Quintum autem opus, septimum et octavum, indigent conicorum doctrina. Sextum de sphaera scilicet et cylindro faciliori progressu tradidimus: in septimo multa ab authore omissa non sine magno labore ac vigiliis demonstravimus¹⁰.

Possiamo dunque collocare la composizione delle Spirali e dei Conoidi e sferoidi nel, periodo che va dal 1544, data dell'edizione di Basilea, al 1549. Per quanto riguarda le altre opere, possiamo collocare la Quadratura del cerchio e la Sfera e cilindro prima del 1528, mentre per la Quadratura della parabola, che in ogni caso dovrebbe seguire le altre due, possiamo solo indicare il 1534 come termine ante quem, senza escludere che essa sia stata composta vari anni prima, quando Maurolico venne per la prima volta a contatto con l'edizione di Gaurico.

Un discorso più approfondito merita il De momentis aequalibus. Come abbiamo visto, questa opera, benché datata 1547-48, e quindi posteriore all'edizione basileense delle opere di Archimede, per molti versi si deve considerare come facente parte del primo gruppo di opere, di cui Maurolico parla già nel 1528.

D'altra parte molti indizi fanno ritenere che la stesura del testo che ci è pervenuto nell'edizione del 1685 sia avvenuta a più riprese, anche oltre le date apposte al testo. ¹¹

I riferimenti al De momentis aequalibus sono frequenti fin dai primi scritti di Maurolico. Come abbiamo visto, essi riguardano esplicitamente da una parte la teoria della leva e dall'altra i centri di gravità del triangolo e del trapezio, contenuti rispettivamente nel primo e nel secondo libro dell'opera a stampa, che possiamo senz'altro assumere essere stati composti prima del 1534.

In effetti la data di composizione del primo libro deve essere retrodatata a prima del 1528, quando, prima ancora di aver visto l'edizione di Gaurico, Maurolico aveva dimostrato ``tutto quanto Archimede aveva scritto de momentis aequalibus''. Con ogni probabilità, la fonte delle conoscenze archimedee è costituita dalle poche righe che Giorgio Valla aveva inserito nel suo De expetendis et fugiendis rebus, pubblicato a Venezia nel 1501. L'influenza dell'opera di Valla su Maurolico non si limita peraltro agli Equiponderanti né ad Archimede; essa era già stata provata da J. Mogenet (1950) per quanto riguarda i rifacimenti delle opere di Autolico De ortu et occasu syderum e De sphaera quae movetur, mentre R. Tassora (1995) ha provato una analoga influenza per quanto riguarda le opere di Apollonio e Sereno.

I passi riportati da Valla non permettevano di andare al di là del primo libro; solo più tardi, quando vede la Quadratura della parabola, Maurolico riprende il tema dell'equilibrio dei piani per aggiungervi, sulla scorta della prima dimostrazione archimedea, il secondo libro sul centro di gravità del triangolo, e forse anche il terzo su quello della parabola. Per questi tre libri si può ipotizzare senz'altro una data di composizione tra il 1525 e il 1535.

I problemi maggiori sorgono con il quarto libro, dove si tratta del centro di gravità dei solidi, e in particolare del cono e del conoide parabolico.

Questi risultati sono menzionati per la prima volta nella lettera a Juan de Vega del 1556:

Neque me paenitebit unquam de momentis aequalibus libellos quatuor scripsisse: cuius materiae inventio et laus Archimedi nostro debetur. Ego tamen multa copiosius super ea re demonstravi. In primo quidem de momentorum proportione: in secundo de centris triangulorum et planarum figurarum: in tertio de portionibus parabolae.

In his Archimedes succincte nimium se praestitit: si modo quod extat, opus integrum est, pondus enim et momentum, cum sint magnitudinum notandae species, erant multo latius tractandae. In quarto demum libello totam mihi laudem vendicare non erubescam, nam de centris solidorum quod ab Archimede praetermissum magnopere admiror, disserui. Et in pyramide centrum gravitatis id punctum esse ostendi, quod utcumque positi solidi quartam celsitudinis partem versus basim relinquit.¹²

Abbiamo qui una stretta corrispondenza tra la descrizione dei quattro libri del De momentis aequalibus e il contenuto della versione a stampa, con un'unica rilevante eccezione: nessuna parola viene spesa per uno dei risultati più importanti, se non il più importante in assoluto, dell'opera, la determinazione del centro di gravità del conoide parabolico. Questo viene menzionato per la prima volta nell'Index lucubrationum del 1568:

Archimedis opera: De dimensione circuli. De sphaera et cylindro. De isoperimetris. De momentis aequalibus. De quadratura parabolae. De sphaeroidibus et conoidibus figuris. De spiralibus. Cum additione demonstrationum et artificio facilitatis.

...

Propria.

...

De momentis aequalibus libri quatuor. In quorum postremo de centris solidorum ab Archimede omissis agitur. Et de centro solidi paraboles.

Nello stesso codice troviamo anche un trattatello autografo, datato 5 maggio 1565, che contiene una determinazione del centro di gravità del paraboloide, apparentemente più concisa e meno elaborata della versione a stampa. Napolitani e Sutto (2001) sostengono in maniera convincente che il manoscritto parigino sia precedente al testo pubblicato nel 1685, e che quindi sia stato aggiunto in un secondo tempo, probabilmente dallo stesso Maurolico, al quarto libro del de momentis aequalibus, che in origine conteneva solo il centro di gravità della piramide e del cono.

Non entreremo qui nei dettagli dell'argomentazione di Napolitani e Sutto, per i quali rinviamo al lavoro originale; ci limiteremo solo a riportare un passo che mostra come nel 1565 Maurolico pensasse di articolare il suo trattato in cinque libri, l'ultimo dei quali sarebbe dovuto essere il trattatello parigino. Scrive Maurolico:

Cum itaque centrum Parallelogrammi, Cylindri et omnis Columnae in primo Aequalium momentorum. Centrum trianguli in secundo. Centrum Parabolae in tertio. Centrum Coni ac pyramidis in quarto certis demonstrationibus determinatum a nobis fuerit. Atque in praesenti libello (qui Quintus in ordine esse potest) centrum parabolici Solidi congruere cum centro trianguli sit ostensum.

In conclusione, contrariamente alle altre opere, per le quali si può pensare a una data di composizione ben definita, o quanto meno a un periodo di tempo relativamente ristratto, il De momentis aequalibus si estenderebbe su un periodo molto esteso, che va da una data imprecisata, ma precedente al 1528, per il primo libro, al 1565 per il centro di gravità del paraboloide.

2.3  La presente edizione

Come già rilevato, dei materiali confluiti nell'edizione del 1685 non ci sono pervenuti né l'autografo né altri testimoni. Fa eccezione il Archimedis de circuli dimensione liber, del quale ci è pervenuto l'autografo (Par. Lat. 7465, siglum A9), cc. 21v32v e il breve scritto Modus alius quadrandi circulum (Par. Lat. 7464, siglum A8, c. 25r), che nell'edizione palermitana segue immediatamente il testo del De circuli dimensione. Di questi due scritti Clagett ha prodotto un'edizione critica nel colume terzo, p. terza del suo Archimedes.

In mancanza di altri testimoni per le opere presenti nell'edizione del 1685, riproduciamo nella sua integrità, limitandoci alla correzione di eventuali errori di stampa e allo scioglimento delle abbreviazioni, in particolare delle forme tria lum e simili. L'ordine in cui le opere sono presentate è lo stesso di quello dell'edizione a stampa. Abbiamo ovviamente espunto le aggiunte effettuate a Palermo dei Galleggianti e dell'Arenario.

Per ulteriori notizie rinviamo alle introduzioni ai singoli testi.

3  Le Demonstrationes quaedam de centro gravitatis

I testi di questa sezione sono degli anni 1565--69, l'epoca in cui Maurolico collaborò strettamente con i Gesuiti di Messina, insegnando nel loro collegio e elaborando insieme a essi un vasto progetto di compendia su cui rifondare l'insegnamento matematico. La collaborazione con i Gesuiti portò l'ormai anziano matematico a rivedere la propria opera, riscoprendo, come lui stesso dice nella lettera al generale della Compagnia, Francisco Borgia, energie che credeva ormai svanite (``revixi et acutior evasi'').

È probabilmente a questa rinnovata attività di ricerca che vanno ascritti questi testi. Il principale di essi (la De centro solidis parabolae demonstratio acutissima, del maggio 1565) sembra essere, come si è visto qui sopra, un abbozzo di un possibile quinto libro del De momentis. Tale progetto non avrà seguito, ma portò comunque Maurolico ad aggiungere al testo del De momentis le dimostrazioni relative al conoide parabolico. Ad esso fanno seguito alcune carte (la Collatio aliorum centrorum in cui si cerca di realizzare un confronto grafico fra i centri di gravità di alcune figure piane e solide. Non è chiaro se questi appunti dovessero svilupparsi nel senso della preparazione del progettato quinto libro o costituissero invece una sorta di divertissement più o meno estemporaneo. Non sono datati, ma vari elementi inducono a ritenerli scritti consecutivamente al De centro solidis parabolae. Il terzo di questi testi (la Brevis demonstratio centri in parabola) è invece datato 17 novembre 1569 è rappresenta una dimostrazione assai concisa della determinazione del centro di gravità di un segmento di parabola.

Tutti e tre i testi sono contenuti nel mss. autografo Par. Lat. 7466 (siglum A10), cc. 7v--14v. Sono stati parzialmente editi da F. Napoli (1876) che li raggruppoò sotto l'unico titolo (alquanto fuorviante) di Brevis demonstratio centri in parabola, e tralasciò la trascrizione della Collatio. Per maggiori dettagli su di essi, si veda l'introduzione ai singoli testi.

4  I Fragmenta

Il testo del frammento De mediis proportionalibus è contenuto nel codice San Pantaleo 115/32 (siglum A19) alle carte 42r-v e 45r-v. Il frammento è molto disordinato e mancante di alcune parti. Reca due date: 1535 e 1533 ed è da ricollegare allo studio mauroliciano del De expetendis et fugiendis rebus di Giorgio Valla. Si tratta infatti di una rielaborazione dell'oscuro testo che Valla tradusse traendolo dal commento di Eutocio alla Sfera e cilindro di Archimede.

Questo materiale fu poi rielaborato da Maurolico che lo inserì all'interno della Preparatio propp. 26--32).

Il De problemate Dionisydori si trova anch'esso nel manoscritto A10 a c. 51v, ma non è datato. La dimostrazione del problema in questione (tagliare una sfera in due segmenti aventi rapporto dato) è condotta in modo estremamente sintetico. essa è sostanzialmente analoga a quanto Maurolico fa in maniera più dettagliata nell'Aliter alla proposizione 32 del Archimedis liber de sphaera, et cylindro. Anche il problema di Dionisodoro è ripreso dal De expetendis di Valla; il frammento può essere datato con buona approssimazione agli anni 1533--34.

Maurolico risolve il problema tramite l'intersezione di un'iperbole e di una parabola. L'uso delle sezioni coniche sembrerebbe a prima vista escludere la datazione qui sopra proposta; tuttavia R. Tassora (1995 e 1995b) ha convincentemente dimostrato l'esistenza di un testo mauroliciano, gli Elementa conicorum precedente il 1534 e ora perduto. Rinviamo a questi lavoro, oltre che all'introduzione a questo frammento, all'introduzione al volume Conica e all'introduzione ai Sereni cylindricorum libelli duo per la discussione dell'importanza che questo testo riveste nel documentare i lavori di Maurolico nel campo delle coniche prima della sua conoscenza di Apollonio.

¹  Moscheo 1988b, capitolo 4, poi ripreso e ampliato in Moscheo 1992

²  Un elenco dei manoscritti posseduti verso la metà del Seicento dagli eredi di Silvestro Maurolico è stato pubblicato in Moscheo 1988b, pp. 417 e sgg. Un certo numero di questi riguardano i testi archimedei, e precisamente:

1. In Archimedem de sphaera et cylindro

2. De Spiralibus lineis

3. De Conoidibus et Sphaeroidibus

4. De Quadratura Parabolae

5. Bravis demonstratio centri in parabola

6. Archimedis de Isoperimetris figuris

7. In Archimedis Opera

8. Epitome operum Archimedis

9. De circuli dimensione Archimedis libellus

10. Maurolyci Tetragonismus

11. De momentis aequalibus

12. De centro pyramidis.

³  Archimedis de iis quae vehuntur in aqua libri duo, Bononiae, ex officina A. Benatii, MDLXV.

⁴  Archimedis Opera quae extant, Parisiis, apud C. Morellum, MDCXV.

⁵  La cronologia generale delle opere di Maurolico è stata ricostruita per la massima parte da M. Clagett, nel suo The Works of Francesco Maurolico e integrata da Moscheo nel suo Francesco Maurolico tra Rinascimento e scienza galileiana (1988, pp. 503--28). Ad essi rinviamo il lettore per un quadro generale delle opere di Maurolico, limitandoci in questa introduzione ai soli scritti archimedei.

⁶  c. 7v.

⁷  Tetragonismus id est circuli quadratura per Campanum, Archimedem Syracusanum atque Boetium mathematicae perspicacissimos adinventa. Venezia, Gio. Battista Sessa, 1503.

⁸  Lo stesso si può dire per le Coniche di Apollonio, dei quali non esiste nessuna edizione precedente quella del Memo del 1537. Per un esame della corrispondente opera di Maurolico si veda Tassora 1995.

⁹  In marg.: Libellus de sphaera et cylindro ponatur secundus.

¹⁰  Macrì, p. LVIII-LIX.

¹¹  Per un'analisi più dettagliata rinviamo all'introduzione ai testi presenti nella sezione Demonstrationes quaedam de centro gravitatis, oltre che all'articolo di P.D. Napolitani e J.-P. Sutto Francesco Maurolico et la détermination du centre de gravité du paraboloïde de rotation (2001) e a Enrico Giusti, Maurolico et Archimède: sources et datation du 1er livre du 'De momentibus aequalibus' (2001).

¹²  Macrì, p. LXIII.

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