PROPOSITIO XII

67 Quod decima huius proposuit, aliter demonstrare.

68 Sit in superficie sphaerae triangulum rectangulum abc ex arcubus circulorum maiorum et cetera quae in praemissa et antepraemissa. 69 Iam rursus et aliter quam in 10^a demonstrandum est: quod sinus aggregati ex arcubus ba ac ad sinum differentiae eorundem arcuum est sicut sinus aggregati ex sinu df sinuque arcus fe ad differentiam eorumdem. 70 Ponatur, sicut in praemissa, rectilineus angulus ghk aequalis ei qui ad centrum sphaerae super arcum ab consistit atque angulus ghl aequalis ei qui ad idem centrum super arcum ac locatur. 71 Item ponatur linea hk aequalis semidiametro sphaerae, hoc est sinui toti et linea kgl ad rectos ipsi hg. 72 Et quoniam arcus ab maior arcu ac per 28^m secundi Sphaericorum Elementorum atque ideo angulus ghk maior angulo ghl, idcirco et linea kg maior erit quam linea gl. 73 Itaque ponatur ipsi gl aequalis linea gm et coniugatur h m et producatur. Item lineae perpendiculares ducantur ad ipsam hl ipsa kn, ad ipsam vero hm productam ipsa ko linea. 74 Et quoniam per hypothesim, angulus lhk est ille qui super arcum aggregatum ex arcubus ba ac consistit ad centrum et angulus kho ipsorum quidem ghk ghl angulorum differentia et perinde angulus ille, qui super arcum, quae differentia est arcuum ba ac ad centrum locatur, existit et linea hk sphaerae semidiameter, hoc est circuli maioris semidiameter sive sinus totus ponitur. 75 Propterea circulus iam super centrum h ad spatium²¹ hk descriptus erit aequalis cuivis circulo maiori sphaerae in cuius superficie describitur triangulum abc cum caeteris periferiis. 76 Atque per primam praemissi libelli, linea kn erit sinus anguli lhk hoc est sinus arcus aggregati ex arcubus ba ac itemque linea ko erit sinus anguli kho hoc est sinus arcus differentiae arcuum dictorum ba ac. 77 Itaque demonstrandum est quod linea kn ad lineam ko est sicut aggregatum ex sinu df sinuque fe ad differentiam eorumdem sinuum, hoc pacto. 78 Angulus kmo aequalis est angulo gmh contraposito, angulus autem gmh aequalis angulo glh per 4^m primi Euclidis. Igitur angulus glh, hoc est kln, aequalis erit angulo kmo, sed anguli lnk mok recti, ergo et reliquus angulus nkl reliquo okm aequalis. Itaque rectilinea triangula kln kmo sunt ad invicem aequiangula. 79 Et ideo per 4^m sexti Euclidis, sunt proportionalium laterum. Quare erit linea kn ad ko lineam sicut linea lk ad lineam km. 80 Sed per praecedentem, linea kg ad lineam gl sicut sinus arcus df ad sinum arcus fe. 81 Et ideo per 9^m huius, linea lk [ad lineam km²²] aggregatum scilicet ex kg gl ad km differentiam earumdem, sicut aggregatum ex sinu arcus df sinuque arcus fe ad differentiam eorumdem. 82 Igitur erit sicut aggregatum ex sinu arcus df sinuque arcus fe ad differentiam eorumdem [S:55v]sinuum sic linea kn ad lineam ko, hoc est sinus aggregati ex arcubus ba ac ad sinum differentiae eorumdem arcuum. Quod fuit demonstrandum.

SCHOLIUM

83 Attendendum quod in prima descriptione angulus lhk est acutus: tunc enim arcus ba ac coniuncti sunt minus quadrante. 84 In secunda autem descriptione angulus lhk obtusus est: tunc enim arcus ba ac constant arcum quadrante maiorem; et perinde linea kn est sinus [est²³] anguli extrinseci khn, hoc est sinus arcus aggregati ex arcubus be cd. 85 In tertia vero descriptione angulus lhk rectus²⁴ est: et ideo tunc arcus ba ac conficiunt quadrantem, unde tunc ipse hk sinus totus est vice perpendicularis kn, hoc est sinus talis anguli recti talisque quadrantis. 86 Sed unicuique descriptioni una inseruit demonstratio idemque processus. Sic igitur decima huius et haec praesens 12^a idem per diversa demonstrant. 87 Superest nunc tertius id ipsum demonstrandum modus: quem a Menelao traditum existimo.