PROPOSITIO XVIII
117 Si fuerint duo triangula ex arcubus circulorum maiorum rectangula in superficie sphaerae quorum unius angulus acutus aequalis alterius angulo acuto: tunc sinus aggregati arcuum acutum angulum 28 compraehendentium in uno triangulo ad sinum arcus differentiae eorum est sicut sinus aggregati arcuum acutum angulum continentium in altero triangulo ad sinum arcus differentiae eorumdem.
118 Sunto duo triangula abc def ex arcubus circulorum maiorum in superficie sphaerae, quorum anguli c f recti et anguli a d acuti et aequales: aio quod sinus arcus aggregati ex arcubus ba ac ad sinum arcus differentiae eorumdem est sicut sinus arcus aggregati ex arcubus ed df ad sinum arcus differentiae eorum. 119 Nam cum anguli acuti a d sint aequales, erunt iam ex diffinitione, sinus versi anguli a diametrum integrantes aequales sinibus versis anguli d diametrum integrantibus, maior scilicet maiori et minor minori29. 120 Rursum ergo super expositam sphaerae diametrum hk centrumque l descripto semicirculo hmk positoque arcu km circuli maioris subtendente tam angulum a quam angulum d in superficiesuperficie sphaerae. 121 Ductaque perpendiculari mn, erit per primam praemissi libri, linea [S:56v] mn sinus arcus km et perinde sinus tam anguli a quam anguli d. Et per diffinitionem ipsae lineae hn nk erunt duo sinus versi tam anguli a quam anguli d. 122 Itaque per praecedentem, sinus aggregati arcuum ba ac ad sinum arcus differentiae eorum est sicut hn ad nk. Itemque sicut hn ad nk sic sinus aggregati arcuum ed df ad sinum arcus differentiae eorum. 123 Igitur sicut sinus aggregati arcuum ed df ad sinum arcus differentiae eorum sic sinus aggregati arcuum ba ac ad sinum differentiae eorum. Quod erat demonstrandum.