PROPOSITIO VIIII

45 Si duae magnitudines duabus magnitudinibus sint proportionales: erunt et earum aggregata differentiis proportionalia. 46 Contra si aggregata fuerint differentiis proportionalia: et duae magnitudines¹⁸ duabus magnitudinibus proportionales erunt.

47 Sit magnitudo ab ad magnitudinem bc sic magnitudo de ad magnitudinem ef quarum maiores ab de, positisque bg ipsi bc atque eh ipsi ef aequalibus: aio quod ca ad ag erit sicut fd ad dh. 48 Nam coniunctis erit ac ad ¹⁹ cb sicut df ad fe, et eversis ac ad ab sicut fd ad de et rursus eversis erit ba ad ag sicut ed ad dh. Quare ex aequali proportione, erit ca ad ag sicut fd ad dh. Quod est primum ex propositis. 49 Rursum esto ca ad ag sicut fd ad dh: aio quod erit ab ad bc sicut de ad ef. 50 Nam tunc disiunctis et conversis erit ag ad gc sicut dh ad hf, sicut cg ad gb sicut fh ad he. Igitur ex aequali ag ad gb sicut dh ad he. Quare coniunctis ab ad bg sicut de ad eh hoc est ab ad bc sicut de ad ef. Quod fuit reliquum ex propositis.