PROPOSITIO XVIII

122 Arcus bini et bini in circulo eodem, sive in circulis aequalibus sumpti, quorum excessus aequales, et chordae sive sinus proportionales: sunt singuli singulis hoc est maior maiori et minor minori aequales.

123 In circulis aequalibus abc def sumpti sint arcus ab ac quorum ac maior atque arcus de df quorum df maior: ita inquam sumpti ut illorum excessus bc sit horum excessui ef aequalis, utque chorda ab ad chor [S:48v]dam ac sit sicut chorda de ad chordam df²⁰: aio tunc quod arcus ab arcui de aequalis et arcus ac arcui df aequalis erit. Nam cum < per²¹> hypothesim, aequales sint bc ef arcus in circulis aequalibus, iam per 26^m tertii Elementorum Euclidis, aequales erunt anguli rectilinei bac edf. 124 Cumque rectae angulos illos complexae sint proportionales, iam per 6^m sexti, triangula rectilinea abc def erunt aequiangula et perinde, per 4^m eiusdem laterum²² proportionalium. 125 Quare cum duo eorum latera bc ef utpote chordae aequalium arcuum, sint aequalia, iam et reliqua unius latera, reliquis alterius lateribus aequalia erunt, hoc est recta ab rectae de aequalis et recta ac rectae df aequalis. Igitur et arcus arcubus aequales erunt, hoc est arcus ab arcui de et arcus ac arcui df aequales. Quod erat demonstrandum.

126 Quod si pro chordis capiantur sinus, idem ostendetur. Secentur enim arcus singuli per aequalia, hoc est ipsi arcus ab bc in punctis g h ipsique arcus de ef in punctis k l. Secentur item chordae singuli per medium, hoc est chordae ab bc in punctis m n ipsaeque chordae de ef in punctis p q, demum chordae ac df in punctis rs. 127 Eruntque per diffinitionem, dimidia talium chordarum sinus recti praedictorum arcuum dimidiatorum, hoc est bm sinus arcus bg, atque bn sinus arcus bh²³, item ar sinus arcus totius gh, adhuc ep sinus arcus ek, atque eq sinus arcus el, itaque ds sinus totius arcus kl. 128 Itaque quod supponitur in dimidiatis arcubus, idem sequetur in duplicatis; ostensoque proposito in chordis, idem ostensum erit in sinibus, qui sunt chordarum dimidia. Sicut proponitur demonstrandum.