PROPOSITIO XI

60 Si fuerit triangulum rectangulum ex arcubus circulorum maiorum²⁰ in superficie sphaerae atque anguli ad centrum sphaerae constituti, quos sub [S:55r]tendunt duo arcus trianguli acutum angulum continentes, fuerint aequales angulis, quos continent latera duo trianguli rectilinei cum perpendiculari ad tertium latus, singuli singulis: tunc sinus totus ad sinum secundum anguli acuti praedicti erit sicut portio maior tertii lateris trianguli rectilinei ad minorem.

61 Sit in superficie sphaerae ex circulis maioribus triangulum rectangulum abc et cetera quae in praecedentem. Item angulus rectilineus ghk ponatur aequalis angulo quem subtendit arcus ab ad centrum sphaerae constituto atque angulus rectilineus ghl aequalis angulo quem subtendit arcus ac ad idem centrum posito. Ipsa autem gh rectos angulos faciat cum lk. 62 Quibus suppositis, demonstrandum est quod sinus arcus df, hoc est sinus totus ad sinum arcus fe sinum scilicet secundum anguli bac est sicut linea kg ad lineam gl, hoc modo. 63 Per 4^m vel 5^m huius, ratio sinus arcus df ad sinum arcus fe componitur ex rationibus sinus arcus dc ad sinum arcus ca et sinus arcus ab ad sinum arcus be. Positaque media linea gh, ratio lineae kg ad lineam gl componitur ex rationibus lineae kg ad lineam gh et lineae gh ad lineam gl. 64 Verum cum per hypothesim anguli ghl et l sint aequales angulis ad centrum sphaerae positis arcusque ac cd assumentibus; iam propter similitudinem triangulorum, erit sicut sinus arcus dc ad sinum arcus ca sic linea gh ad lineam gl. 65 Et similiter cum per hypothesim anguli ghk et k sint aequales angulis ad centrum sphaerae constitutis arcusque ab be assumentibus rursum, propter similitudinem triangulorum, erit sicut sinus arcus ab ad sinum arcus be sic linea kg ad lineam gh. 66 Igitur ex aequali, collatis rationibus, erit sicut linea kg ad lineam gl sic sinus arcus df ad sinum arcus fe. Quod fuit demonstrandum.