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Direttore del volume Jean-Pierre Sutto
Collaboratori
Introduzione
1 AritmeticheIn questo volume vengono presentati i testi aritmetici ed algebrici di Francesco Maurolico. L'aritmetica può essere considerata come un tema trasversale della matematica mauroliciana: il calcolo aritmetico, infatti, viene utilizzato in diversi ambiti matematici, primo fra tutti quello della geometria pratica. In altri volumi dell'edizione dell'opera matematica di Maurolico si potranno inoltre trovare calcoli aritmetici basati sulle Coniche di Apollonio, calcoli di trigonometria sferica, tavole astronomiche, ecc... Occorre poi osservare che alcune discipline, come la musica, pur sembrando a prima vista estranee all'aritmetica, vi sono in realtà intimamente connesse. Tuttavia, in considerazione dell'importanza che riveste la musica nell'opera del messinese, abbiamo ritenuto opportuno dedicarvi un intero volume, escludendo così da questo le tematiche musicali. Anche l'algebra potrebbe essere considerata come un caso a sé stante, ma due ragioni ci hanno spinto ad accogliere i testi algebrici nel presente volume. In primo luogo, l'algebra mauroliciana appare fortemente ``aritmetizzata", nel senso che nelle dimostrazioni non si ricorre ad alcuna nozione geometrica. Anche nel caso in cui Maurolico utilizzi le proposizioni euclidee del secondo libro degli Elementi, esse vengono spogliate del carattere prettamente geometrico che avevano nel testo euclideo. Il trattato algebrico di Maurolico, del resto, sembra avere l'unico scopo di ridurre a quattro le sei regole di posizione in uso nel Medioevo. Fra l'altro, è significativo ricordare che Maurolico assume come riferimento, in ambito algebrico, la figura di Regiomontano, mentre ad algebristi come Cardano e Pacioli, ad esempio, riserva -- come si legge nella lettera a Juan de Vega -- un giudizio di sostanziale indifferenza1. Per concludere, il breve testo algebrico che ci è pervenuto, rappresenta l'unico documento mauroliciano su questo tema ed avrebbe quindi difficilmente potuto occupare un intero volume. L'aritmetica mauroliciana propriamente detta, può essere divisa, in prima approssimazione, in tre categorie: l'aritmetica euclidea, l'aritmetica neo-pitagorica e l'aritmetica che si basa sulla grandezza che Maurolico definisce ``quantità generale"2. Nel primo caso, lo sforzo del matematico siciliano appare volto a chiarire e semplificare le dimostrazioni pubblicate nelle edizioni degli Elementi di Campano e di Zamberti. Tuttavia, poiché ad Euclide è stato riservato un intero volume, si è ritenuto opportuno escludere dal presente l'aritmetica euclidea, per non frammentare inutilmente il testo degli Elementi. Ciononostante l'opera di Euclide, come vedremo, sarà ugualmente una presenza costante nelle tematiche aritmetiche. Nel caso dell'aritmetica neo-pitagorica, i lavori mauroliciani sono orientati verso una notevole estensione dei numeri figurati, descritti all'epoca essenzialmente nei trattati di Boezio e di Giordano Nemorario. Il carattere di figura, nell'opera di Maurolico, scompare quasi del tutto, per lasciare spazio ad un punto di vista strettamente numerico. Il numero figurato diviene così un'entità numerica in cui le figure hanno il solo scopo di illustrazione. Le estensioni mauroliciane dell'opera di Giordano sono numerose: ad esempio, il matematico siciliano generalizza il concetto di figure equiangole esagonali ed ottagonali all'idea di figure cosiddette ``centrate" o del secondo genere, che possono avere un numero qualsiasi di lati. Maurolico definisce inoltre dei numeri figurati basati sui solidi platonici: il tetraedro o piramide, l'ottaedro, l'esaedro o cubo, l'icosaedro ed il dodecaedro. Egli cerca di fornire un'unica definizione basata sul numero degli angoli, degli spigoli e delle facce, moltiplicato per il numero dei triangoli e delle piramidi e mostra che alcuni di questi solidi, pur essendo definiti geometricamente in maniera diversa, diventano uguali dal punto di vista numerico. L'aritmetica mauroliciana dei numeri figurati, pubblicata nel 1575, conobbe un certo successo, soprattutto nella Francia degli inizi del XVII secolo. Pascal, Bachet de Méziriac, Fermat, Frénicle de Bessy la utilizzarono o, quanto meno, la citarono nelle loro opere3. Il terzo tipo di aritmetica mauroliciana corrisponde in realtà ad una teoria della quantità generale, dove per quantità generale si intende una grandezza in cui si trovano riunite sia le caratteristiche delle quantità discrete, sia di quelle continue. Questo tipo di studio nasce da una interpretazione aritmetizzante, del resto molto comune nel Rinascimento, del X libro degli Elementi, dedicato alle grandezze irrazionali. Maurolico, tuttavia, si scosta ben presto da questo approccio, per tentare da un lato di definire un quadro teorico sul quale basare l'aritmetica dei numeri irrazionali, dall'altro di gettare le basi di una matematica ``prima", ovvero una matematica più generale della geometria e dell'aritmetica, in cui lo strumento essenziale sia il numero. Maurolico definisce le operazioni valide in questa matematica ``prima" e mostra che numerose proposizioni, geometriche o algebriche, possono diventare assai generali quando vengano espresse nei termini della quantità generale. Gli studi di Maurolico si configurano quindi come una pietra miliare nella storia della Mathesis Universalis: essi, ad esempio, costituiranno il punto di partenza per i lavori del belga Adrian Van Roomen4. Per concludere, abbiamo ritenuto necessario riservare in questo volume uno spazio anche ad alcuni scritti difficilmente classificabili in una delle tre categorie precedenti, trattandosi di testi senza dubbio meno ambiziosi, probabilmente scritti per esigenze didattiche. 2 L'aritmetica nelle recensiones delle opere fatte dall'autoreGrazie alle numerose recensiones degli scritti lasciate da Maurolico, è possibile ricostruire il percorso dei suoi studi aritmetici. Il confronto fra i titoli citati nelle varie redazioni delle recensiones e le opere che ci sono pervenute, mette in luce, da una parte, una non sempre perfetta corrispondenza fra i primi e le seconde e dall'altra il fatto che alcune opere hanno conosciuto diverse redazioni successive. Il modus operandi mauroliciano porta a supporre che la redazione sopravvissuta costituisca l'ultima in ordine di tempo e che le stesure precedenti siano scomparse. Riportiamo di seguito i riferimenti alle opere aritmetiche, seguendo un ordine cronologico. Nei Grammaticorum Libelli sex pubblicati nel 1528, Maurolico manifestava l'intenzione di scrivere due trattati di aritmetica e i compendi delle opere di Boezio e di Giordano:
In una lettera indirizzata a Pietro Bembo, datata 4 maggio 1536, Maurolico dà notizia di aver scritto un trattato di aritmetica, i Data aritmetici, basati sulle opere di Boezio e di Giordano, e le quaestiones aritmetiche. Si noti che queste opere corrispondono esattamente a quanto il messinese aveva preannunciato nel 1528. Occorre precisare tuttavia che nessun testo mauroliciano recante questi titoli ci è attualmente pervenuto.
La lettera del 1540 indirizzata a Bembo, che costituisce la prefazione alla Cosmographia, illustra con maggiori dettagli i temi espressi in precedenza. Nella seconda sezione sono inclusi un compendio di Boezio, una nuova versione di un testo aritmetico di Giordano concernente l'aritmetica neo-pitagorica dei numeri figurati -- si tratta di un'``edizione", nella particolare accezione data a questo termine da Maurolico -- ed infine i Data. Nella descrizione dei lavori che Maurolico riunisce sotto il titolo di Arithmetica speculativa, si riconoscono gli stessi temi descritti in precedenza, i quali corrispondono ai due libri aritmetici che ci sono pervenuti: il primo riguarda i numeri figurati, il secondo l'aritmetica pratica delle grandezze razionali ed irrazionali. Infine, troviamo ancora i Data e le Quaestiones menzionati nella lettera a Bembo del 1536. Per concludere, va osservato che nel brano che segue viene citato per la prima volta un trattato di algebra, le cui caratteristiche corrispondono esattamente a quelle dei manoscritti autografi in nostro possesso:
La lettera a Juan de Vega del 1556 riprende complessivamente gli stessi argomenti:
È bene sottolineare che il manoscritto comprendente i primi sei libri dell'Aritmetica di Diofanto, ammesso che abbia conosciuto una certa diffusione, venne pubblicato solo nel 15759, e che i tredici libri di Diofanto erano stati citati prima da Regiomontano ed in seguito da Ian Scheubel e Jacques Peletier du Mans10. L'Index lucubrationum stampato nell'edizione degli Sphaerica del 1558, riprende ancora gli stessi temi. Gli altri Indices, redatti in seguito, riprongono, almeno per quello che riguarda l'aritmetica, i medesimi contenuti della redazione del 1558: possiamo quindi considerarli, da questo punto di vista, del tutto identici. Riproponiamo nei passi successivi ogni altro riferimento a scritti aritmetici:
Il manoscritto Par. Lat. 7466 contiene, oltre ad un Index lucubrationum, alcuni riferimenti ai compendia, ed in particolare suggerisce un ordine di lettura per le opere matematiche. Fra queste, troviamo alcuni scritti aritmetici di Maurolico:
3 L'edizione, un vero rompicapoFra i titoli citati nelle recensiones di Maurolico, solamente due sono chiaramente identificabili con opere che ci sono pervenute e sono, oltre all'algebra, i due libri di aritmetica speculativa, dei quali uno è dedicato ai numeri figurati, l'altro agli irrazionali euclidei. Tuttavia abbiamo a nostra disposizione un gran numero di testi, molti dei quali appartengono alla tradizione precedentemente descritta, mentre alcuni presentano caratteristiche diverse. Per questo motivo, la presente edizione dei testi aritmetici mauroliciani può essere paragonata alla ricostruzione di un puzzle, costituito da alcuni tasselli fissi e da una miriade di frammenti sparsi. Il primo tassello fisso è dato dai due libri aritmetici stampati a Venezia nel 1575, di cui possediamo anche un manoscritto non autografo. Il secondo tassello è costituito da due manoscritti autografi dell'algebra. Per il resto, il nostro puzzle consta di dozzine di annotazioni, osservazioni, frammenti, tabelle, capitoli isolati di opere, saggi preparatori e minute di argomento aritmetico. Questi documenti, contenuti negli autografi mauroliciani, hanno forme diverse e le date che vi compaiono sono distribuite nel tempo. Poiché uno degli scopi di questa edizione è quello di venire a capo di questo complesso puzzle, è chiaro che la presente introduzione verrà aggiornata di pari passo con l'avanzamento dei lavori editoriali. Le date di composizione delle redazioni dell'aritmetica speculativa e dell'algebra che ci sono pervenute, non corrispondono alle date in cui vengono citate per la prima volta nelle recensiones. In base a questi elenchi, infatti, si può supporre che una redazione dell'algebra sia esistita fin dal 1540, tuttavia uno dei manoscritti in nostro possesso reca la data del 1569 ed il secondo è addirittura posteriore. Per quello che riguarda l'aritmetica, sembra che ne sia esistita una redazione fin dal 1536, ma ne ignoriamo i contenuti. La redazione dell'aritmetica citata nel 1540, corrisponde, nei contenuti e nella struttura, ai due libri stampati a Venezia nel 1575. Eppure, questi due testi sono stati scritti, stando alla data che compare nella stampa, nel 1557. Bisogna dunque considerare questi documenti come una specie di punto d'arrivo degli studi precedenti, oggi presumibilmente perduti, oppure negli anni che separano le due redazioni, Maurolico si è limitato essenzialmente a studi preparatori? Va osservato che, diversamente a quanto accade per tutte le altre opere del corpus mauroliciano, in questo caso si sono conservati molti studi ed osservazioni preparatorie di carattere aritmetico e questi costituiscono appunto i tasselli che compongono il nostro puzzle. Un manoscritto particolarmente importante per l'aritmetica, il cosiddetto Villacanense, sembra essersi perduto nel terremoto di Messina del 1908. Il suo contenuto, tuttavia, venne descritto con precisione da Giacomo Macrì13. Il Villacanense conteneva i Jordani arithmetica data e la Boetii arithmetica, opere menzionate più volte nel paragrafo precedente. Secondo la descrizione fattane da Macrì, questi manoscritti recavano rispettivamente la data del 20 settembre 1532 e del 28 gennaio 1554. La trasversalità delle tematiche aritmetiche nel corpus mauroliciano, ci rende impossibile rendere conto di tutte le volte che esse si presentano, tuttavia le possibilità offerte da quest'edizione, relative all'indicizzazione elettronica, alla ricerca e alla costituzione di una lista di parole-chiave, permetteranno al lettore di supplire in larga misura a queste lacune. Il presente volume è organizzato come segue:
4 I testi4.1 Gli Arithmeticorum Libri duo del 1575 e il manoscritto Vat. Lat. 3131Gli Arithmeticorum libri duo compaiono negli Opuscula mathematica stampati nel 1575. Si tratta in realtà di un trattato distinto dai veri e propri Opuscula, che presenta una numerazione propria delle pagine. Le date di composizione apposte alla fine di ogni libro sono rispettivamente il 18 aprile 1557 ed il 24 luglio 155714. Il marchio dello stampatore sul frontespizio recita: ``Venetiis, Apud Franciscus Franciscium Senensem, M D L X X V". Sappiamo che l'intera operazione editoriale venne condotta dai Gesuiti di Messina, Roma e Venezia e che fu probabilmente dovuta sia al bisogno di disporre di compendi per l'insegnamento delle matematiche nei Collegi della Compagnia, sia all'interessamento di Clavio, che visitò Messina nel 1574. Sfortunatamente, in nessuno dei documenti pervenuti si fa menzione dei testi aritmetici -- né nella biografia del Barone della Foresta, né nelle lettere dei Gesuiti in cui si parla della stampa degli Opuscula mathematica -- sicché sembra ragionevole pensare che essi facessero parte dello stesso lotto degli Opuscula mathematica, ma si tratta di un'ipotesi che attende conferma. Il codice Vat. Lat. 3131, custodito presso la Biblioteca Apostolica Vaticana, contiene una redazione non autografa dei due libri aritmetici, che riveste una particolare importanza nella storia di quest'opera. In primo luogo il manoscritto colma alcune delle lacune della stampa. Ad esempio, alcune parti mancanti delle proposizioni 64 e 65 del primo libro edito nel 1575, sono indicate dallo stampatore con espressioni del tipo ``Hic pauca desunt" oppure ``Hic multa desunt, quae non sunt in exemplari manuscripto"15. Nel manoscritto, invece, il testo è completo. Il manoscritto, inoltre, inizia con una lettera di dedica che non troviamo nell'edizione a stampa. La parte finale di questa lettera, indirizzata al Cardinale Marco Antonio Amulio -- o da Mula -- e datata 1o dicembre 1568, recita:
Si può quindi dedurre che il manoscritto sia stato dedicato, copiato e quindi inviato al Cardinale Amulio nel 1568, perché venisse stampato. Tuttavia, le nostre conoscenze attuali, non ci permettono di ricostruire l'intera vicenda editoriale. 4.2 I frammentiA prima vista, i due libri aritmetici redatti nel 1557 sembrano la conclusione di decenni di studi. La maggior parte dei frammenti ad essi relativi sono raccolti essenzialmente in due manoscritti. Tuttavia, poiché il lavoro di catalogazione e di analisi dei contenuti, nonché lo studio delle dipendenze dai testi del 1557 è ancora in corso, ci limiteremo a dare qualche notizia generale. Il manoscritto Fonds latin 7473, conservato presso la Bibliothèque Nationale a Parigi, contiene i frammenti aritmetici relativi ai numeri figurati. Si tratta, essenzialmente, di lunghe serie di proposizioni e dimostrazioni, le cui date di composizione, di mano di Maurolico, sono comprese fra il 1553 ed il 1557. Nella maggioranza dei casi è possibile individuare i passi corrispondenti nel primo libro dell'edizione del 1575. In diversi casi, invece, i testi sono solo simili ed in altri il testo a stampa appare rimaneggiato. Anche il manoscritto con segnatura San Pantaleo 115/32 della Biblioteca Nazionale ``Vittorio Emanuele II" di Roma contiene numerosi frammenti sull'argomento, ma sono più vecchi di quelli precedenti. Sottolineiamo soprattutto la presenza di un colophon finale datato 28 settembre 1532 relativo ad un'opera intitolata Arithmeticae speculativa supplementa. Lo stesso manoscritto contiene una versione aritmetica del secondo libro degli Elementi d'Euclide, datato 21 gennaio 1532 ed un capitolo intitolato Caput 16um et arithmeticorum postremum, dedicato alla determinazione ed al calcolo degli elementi caratteristici dei solidi regolari, unica testimonianza di un'opera più generale attualmente sconosciuta. Molti altri manoscritti contengono documenti di carattere aritmetico. Si noti che, anche dopo la redazione del 1557, Maurolico continuò a lavorare su temi aritmetici. Il manoscritto Fonds Latin 7463, ad esempio, contiene una tavola aritmetica delle quantità razionali ed irrazionali datata 2 settembre 1570 (f. 3r). Rinviamo, per una completa valutazione di questi interessanti frammenti, ad un futuro aggiornamento di questa Introduzione. 4.3 I due manoscritti di algebraI due manoscritti autografi che contengono i testi d'algebra sono conservati alla Bibliothèque Nationale a Parigi, con segnatura Fonds Latin 7466 (ff. 19r--23v) e Fonds Latin 7459 (ff. 1r--7v). Furono pubblicati per la prima volta da Federico Napoli nel 187617. Solo il primo manoscritto reca due date, vale a dire 7 ottobre 1569 e 18 gennaio 1570. Nella lettera a Pietro Bembo del 1540, tuttavia, Maurolico cita un'opera recante lo stesso titolo. Osserviamo infine che, mentre il primo trattato è indirizzato ad un impersonale e generico ``lector", il secondo è indirizzato a ``Cristofore Clavi", il che lascia supporre una volta di più che il Gesuita abbia ricoperto un ruolo importante negli ultimi anni di vita di Maurolico. 4.4 Varie
Abbiamo riservato quest'ultimo paragrafo ai documenti che sfuggono alla classificazione precedente. È il caso, ad esempio, di un frammento di tredici carte appartenenti al manoscritto San Pantaleo 115/32 della Biblioteca Nazionale di Roma, che presenta un capitolo intitolato Arithmeticae praxeos demonstrationes. Cap. XIIII, datato 4 gennaio 1545. Si tratta di un documento che testimonia dei primi passi di Maurolico in aritmetica: contiene infatti cifre, composizioni di numeri, operazioni, tavole di moltiplicazione, prove del 9, ecc.... Le pagine sono ricche di correzioni e probabilmente si tratta di un testo utilizzato all'inizio di un certo Capitolo 15 intitolato Geometricae praxeos demonstratio, inserito in un'opera più generale che non ci è pervenuta. 1 Al proposito si veda F. Napoli, Intorno alla vita ed ai lavori di Francesco Maurolico, Bullettino di Bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche, (9) 1876, p. 30. 2 J.P. Sutto, Les arithmétiques de Francesco Maurolico, in P.D. Napolitani, P. Souffrin, Medieval and Classical Traditions and the Renaissance of Physico-Mathematical Sciences in the 16th Century, XX International Congress of History of Science Symposium, Brepols, 2001, pp. 75-83. 3 J.P. Sutto, Francesco Maurolico, le premier livre des Arithmétiques e l'induction mathématique, Matapli, 45 (1996), pp. 15-23. 4 J.P. Sutto, Les arithmétiques de Francesco Maurolico... cit. 5 Si veda M. Clagett, The Works of Francesco Maurolico, Physis, 16 (1974), n. 9, p. 171. 6 Si veda M. Clagett, The Works of Francesco Maurolico, cit., p. 172. 7 Si veda M. Clagett, The Works of Francesco Maurolico, cit., pp. 175-176. 8 F. Napoli, Intorno alla vita ed ai lavori di Francesco Maurolico, cit., p. 31. 9 Diofanto (edizione di Xylander), Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex [...]. Item liber de numeris polygonis seu multiangulis, Bale, 1575. 10 Regiomontanus, Oratio Iohannis de Monteregio habita Patavij in pralection Alfragani, Nüremberg, 1537, in Opera Collectanea, Otto Zeller Verlag, Osnabrück, 1972, p. 46; I. Scheubel, Algebra compendiosa facilisque descriptio, qua depromuntur magna Arithmetices miracula, Paris, 1552, p. 2; J. Peletier du Mans, L'Algèbre, Lyon, 1554, p. 2; e nella traduzione latina dello stesso De occulta parte numerorum, quam Algebram vocant, Paris, 1560, seconda pagina della prefazione. 11 M. Clagett, The Works of Francesco Maurolico, cit., pp. 179-182. 12 M. Clagett, The Works of Francesco Maurolico, cit., pp. 187-190. 13 Si veda R. Moscheo, Francesco Maurolico tra Rinascimento e scienza galileiana. Materiali e ricerche, Società messinese di Storia Patria, Messina, 1988, pp. 303-309. 14 Arithmeticorum libri duo, Venetiis, 1575, pp. 52 e 175. 15 Arithmeticorum libri duo, Venetiis, 1575, p. 29. 16 R. Moscheo, Francesco Maurolico tra Rinascimento e scienza galileiana... , cit., p.279. 17 F. Napoli, Intorno alla vita ed ai lavori di Francesco Maurolico, cit., pp. 41--49.
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