Lezione 1 - lunedì 23/09, 11:30-13:30. Introduzione al corso (programma, sito, esami).
Lo spazio Euclideo d-dimensionale. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza triangolare.
Successioni di vettori: convergenza, teorema di Bolzano-Weierstrass, convergenza della norma e del prodotto scalare, convergenza componente per componente.
Lezione 2 - lunedì 30/09, 11:30-13:30. Successioni di Cauchy e completezza.
Insiemi aperti - definizione, unione e intersezione di insiemi aperti, esempi.
Insiemi chiusi - definizione, insiemi chiusi ed insiemi chiusi per successioni.
Lezione 3 - venerdì 04/10, 10:30-13:30.
Unione e intersezione di insiemi chiusi, esempi.
Insiemi compatti: un insieme è compatto per successioni se e solo se è chiuso e limitato.
Teorema di Weierstrass: una funzione continua su un insieme compatto ammette un massimo ed un minimo.
Esercizi - aperti, chiusi, compatti.
Lezione 4 - lunedì 07/10, 11:30-13:30.
Parte interna e chiusura di un insieme: definizioni, esercizi ed esempi.
Lezione 5 - venerdì 11/10, 10:30-13:30.
Frontiera di un insieme: definizioni, esercizi ed esempi.
Esercizi sul calcolo di limiti, di limsup e di liminf.
Limiti di funzioni. Limiti direzionali. Due Esempi di funzioni che hanno lo stesso
limite in tutte le direzioni, ma non ammettono limite nell'origine.
Calcolo dei limiti di funzioni di più variabili - il teorema principale.
Lezione 6 - lunedì 14/10, 11:30-13:30.
Esercizi sul calcolo dei limiti di funzioni di più variabili.
Limsup e liminf - definizioni ed esempi.
Lezione 7 - lunedì 21/10, 11:30-13:30.
O-grande ed o-piccolo per funzioni di più variabili.
Sviluppi di Taylor di funzioni di più variabili.
Esercizi ed esempi.
Lezione 8 - venerdì 25/10, 10:30-13:30.
Unicità dello sviluppo di Taylor. Esercizi sugli sviluppi di Taylor.
Esercizi sul calcolo di limsup e liminf di funzioni di più variabili.
Lezione 9 - lunedì 04/11, 11:30-13:30.
Funzioni derivabili - definizione, derivate parziali e gradiente.
Una funzione derivabile con gradiente nullo in tutto lo spazio è costante.
Esempio di una funzione derivabile in ogni punto ma non continua.
Funzioni differenziabili - definizione. Le funzioni differenziabili sono derivabili.
Le funzioni differenziabili sono continue.
Esempio di una funzione derivabile, ma non differenziabile.
Lezione 10 - venerdì 08/11, 10:30-13:30.
Teorema del differenziale totale.
Funzioni C0, C1, C2 - definizione.
Derivazione lungo curve. Derivate direzionali - definizione.
Formula per le derivate direzionali di una funzione differenziabile in un punto.
Esempio di una funzione derivabile e continua, ma non differenziabile.
Esempio di una funzione continua e derivabile in ogni direzione, ma non differenziabile.
Lezione 11 - sabato 09/11, 10:30-13:30.
Esercizi sulle derivate lungo cammini (tre esercizi 3 dei compiti degli anni passati).
Esercizi sulle funzioni differenziabili (Es. 11 del compito di gennaio 2024).
Esercizi sugli sviluppi di Taylor al secondo ordine (Es. 4 dei compiti di giugno 2024).
Esercizio sul calcolo di limsup (Es. 10 del secondo appello di giugno 2024).
Lezione 12 - martedì 12/11, 10:30-12:30.
Derivate parziali seconde e matrice hessiana.
Teorema di Schwarz. Sviluppo di Taylor al secondo ordine di una funzione di classe C2.
Esempi.
Lezione 13 - venerdì 15/11, 10:30-13:30.
Massimi e minimi relativi e punti di sella. Esempi.
Condizione necessarie per l'esistenza di massimi e minimi relativi.
Matrici simmetriche definite positive, definite negative, semi-definite positive, semi-definite negative, indefinite.
Teorema spettrale: polinomio caratteristico, autovalori ed autovettori di una matrice simmetrica.
Come usare gli autovalori di una matrice simmetrica per determinare se è
definita positiva, definita negativa, semi-definita positiva, semi-definita negativa, indefinita.
Matrici simmetriche 2 per 2 - come usare la traccia ed il determinante di una matrice simmetrica 2 per 2 per determinare se è
definita positiva, definita negativa, semi-definita positiva, semi-definita negativa, indefinita.
Esercizi ed esempi.
Lezione 14 - sabato 16/11, 10:30-13:30.
Punto di sella: condizioni sufficienti.
Massimi e minimi relativi di una funzione di classe C2 - condizioni sufficienti.
Esempio di una funzione (non di classe C2) che ha un punto di sella in (0,0),
ma lungo ogni retta che passa per l'origine ha un minimo stretto in (0,0).
Esercizi ed esempi: esercizio 8 dell'appello di settembre 2024; esercizi 3, 4, 5, 8 di febbraio 2024.
Lezione 15 - lunedì 18/11, 11:30-13:30.
Esempi di calcolo di del minimo e del massimo di una funzione di due variabili su un compatto.
Esempio 1: F(x,y)=2x*x-y*y sulla palla chiusa di raggio 1.
Esempio 2: F(x,y)=x*y sull'insieme delimitato dal grafico della parabola y=x*x-1 e la retta y=0.
Esempio 3: F(x,y):x*y sull'insieme dove la funzione G(x,y)=x*x-x*y+2*y*y-1 è negativa.
Teorema dei moltiplicatori di Lagrange - enunciato del teorema e soluzione dell'esempio 3.
Lezione 16 - venerdì 22/11, 10:30-13:30.
Teorema della funzione implicita - con dimostrazione in dimensione due.
Teorema dei moltiplicatori di Lagrange - con dimostrazione in dimensione tre.
Esercizio 9 dell'appello di settembre 2024 - parte 1.
Lezione 17 - sabato 23/11, 10:30-13:30.
Esercizi: esercizio 9 dell'appello di settembre 2024 - parte 2;
esercizio 9 dell'appello di febbraio 2024;
estremi superiore ed inferiore di una funzione continua (F=xyz) su un vincolo non compatto
(i punti con coordinate (x,y,z) tali che x>0, y>0, z>0 e xy+yz+zx=1);
esercizio sullo studio di una matrice hessiana.
Lezione 18 - lunedì 25/11, 11:30-13:30.
Applicazioni multilineari alternanti - definizione ed esempi.
Forme differenziali - definizione ed esempi: forme differenziali in dimensione 2 e 3.
Prodotto esterno: prodotto esterno di due 1-forme in dimensione due,
prodotto esterno di due 1-forme in dimensione tre,
prodotto esterno di una 1-forma ed una 2-forma in diensione tre.
Lezione 19 - sabato 30/11, 10:30-13:30.
Differenziale di una funzione e di una forma differenziale.
Forme esatte e forme chiuse.
1-forme esatte e 1-forme chiuse in dimensione 3 - campi conservativi e campi irrotazionali.
2-forme esatte e 2-forme chiuse in dimensione 3 - campi rotore e campi solenoidali.
Integrazione di 1-forme su curve.
Esempio di una 1-forma chiusa, ma non esatta.
Le 1-forme chiuse su rettangoli sono esatte.
Lezione 20 - lunedì 2/12, 11:30-13:30.
Derivazione sotto il segno di integrale.
In un aperto stellato di R3 le 1-forme chiuse sono esatte.
Lezione 21 - venerdì 6/12, 10:30-13:30.
Integrazione secondo Riemann.
Integrabilità di funzioni limitate su rettangoli -
somme di Riemann inferiore e superiore, definizione di integrabilità,
formulazioni equivalenti dell'integrabilità, integrabilità delle funzioni continue su rettangoli.
Insiemi misurabili.
Insiemi di misura nulla.
Lezione 22 - sabato 7/12, 10:30-13:30.
Un insieme limitato è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla.
L'unione, l'intersezione e la differenza di insiemi misurabili sono misurabili.
La parte interna e la chiusura di un insieme misurabile sono misurabili.
Una funzione continua e limitata su un insieme misurabile è integrabile su quel insieme.
Domini normali in R2.
Formula di Fubini su rettangoli.
Applicazione della fomula di Fubini in domini normali.
Calcolo dell'area di un disco.
Lezione 23 - lunedì 9/12, 11:30-13:30.
Formule di Gauss-Green su domini normali.
Integrazione di 1-forme sul bordo di un dominio normale.
Integrazione di 2-forme su domini normali.
Formula di Stokes e teorema della divergenza.
La formula di Stokes e le formule di Gauss-Green sono equivalenti.
Calcolo dell'area di un disco e dell'area di un settorecon la formula di Stokes.
Lezione 24 - venerdì 13/12, 10:30-13:30.
Integrazione di funzioni su curve C1 e C1 a tratti.
Lunghezza di una curva. Esempi: lunghezza della circonferenza,
lunghezza di un grafico, lunghezza di una curva in coordinate polari,
esempio di una curva infinita con lunghezza finita.
Curve semplici, curve semplici chiuse, curve regolari.
Vettori tangenti e vettori normali al bordo di un dominio.
Vettore normale uscente: definizione.
Curve che parametrizzano il bordo di un insieme in senso antiorario.
Dimostrazione del teorema della divergenza (usando la formula di Stokes).
Esercizi sul teorema della divergenza (esercizi n.7).
Formula di integrazione in coordinate polari.