Euclidis regularia solida

3 ago. 2003

• 1  Presentazione dell'opera
• 2  Tradizione e novità
• 3  Contestualizzazione dell'opera
• 4  Fortuna
• 5  Testimoni
• 6  Criteri di edizione
• 7  Fonti

1  Presentazione dell'opera

In questa edizione presentiamo i libri XIII, XIV e XV degli Elementa di Euclide ``ex traditione Maurolyci'', dedicati allo studio dei cinque poliedri regolari: tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro ed icosaedro. In particolare, nel libro XIII si spiega come costruire i poliedri in una sfera assegnata, nel libro XIV vengono determinate alcune relazioni metriche fra spigoli, superfici e volumi, mentre nel libro XV vengono esaminate le possibilità di inscrizione reciproca fra poliedri regolari.

In generale, le carte mauroliciane dedicate alla geometria euclidea ci sono state tramandate in forma manoscritta¹. L'unica eccezione è costituita proprio dai libri XIII-XV, dei quali ci è pervenuta solo l'edizione a stampa contenuta nel volume miscellaneo degli Opuscula Mathematica, edito nel 1575. L'edizione è introdotta da un titolo -- Euclidis Elementorum Liber Tredecimus, Solidorum Tertius, et Regularium Corporum Primus ex traditione Maurolyci -- che richiama solo il primo dei tre libri pubblicati. A questo titolo fanno tuttavia seguito alcune pagine proemiali relative al complesso dell'edizione, che consistono in una prefazione in cui si descrivono sommariamente i cinque poliedri regolari e la ragione della loro unicità (pp. 103-104), in un'epistola datata 9 luglio 1532 (pp. 105-106) ed infine in un carme (p. 106) entrambi dedicati a Girolamo Barresi, genero dello strategò di Messina ed allievo di Maurolico. Solo dopo queste pagine introduttive inizia effettivamente il libro XIII (pp. 107-123), il quale si chiude con un'appendice, indicata come Scholium super calculo figurarum aequilaterarum che riassume in 5 tabelle alcune relazioni metriche che sussistono fra gli elementi caratteristici di poligoni e poliedri regolari. Le stesse tabelle si ritrovano alla fine del XV libro sotto il titolo Calculus laterum et perpendicularium figurarum planarum et solidarum.

I libri XIV (pp. 123-141) e XV (pp. 142-144), intitolati rispettivamente Euclidis Elementorum Liber Quatuordecimus, Solidorum Quartus, et Corporum Regularium Secundus ex Traditione Maurolyci e Euclidis Elementorum Liber Quindecimus, Solidorum Quintus, et Corporum Regularium Tertius ex Traditione Maurolyci, vengono attribuiti ad Euclide, mentre all'epoca era noto che la loro paternità doveva essere rintracciata altrove. Zamberti, ad esempio, aveva escluso dalla numerazione il libro XIV indicandolo come ``Traditio Hypsiclis'' ed aveva quindi numerato l'ultimo libro come ``Liber Quartusdecimus''². La ``Traditio Hypsiclis'', stando all'introduzione pubblicata da Zamberti o alla Campani annotatio che segue la proposizione XIV.1, era stata scritta dal matematico alessandrino Ipsicle (prima metà del II sec. a.C.), che si era ispirato ad un'opera di Apollonio e al De quinque solidorum comparatione di Aristeo. L'ultimo libro, pur ricondotto da Zamberti alla tradizione di Ipsicle, contiene un esplicito riferimento ad ``Isidorus noster magnus magister'' (presumibilmente Isidoro di Mileto, vissuto nel VI sec.), il che suggerisce di riconoscere in un suo allievo l'autore di almeno una parte del libro³. Maurolico segue l'edizione di Campano, in cui i libri successivi al XIII vengono numerati come XIV e XV senza alcun commento, ma nella lettera dedicatoria a Barresi, accenna al fatto che le relazioni fra dodecaedro ed icosaedro erano dovute alla ``Hypsiclis industriae'' mentre il confronto fra i volumi dei poliedri regolari era già stato trattato ``ab Apollonio atque Aristero''.

2  Tradizione e novità

Nella lettera dedicatoria a Barresi, Maurolico spiega molto chiaramente che le motivazioni che lo hanno indotto a scrivere una nuova redazione dei libri solidi degli Elementa vanno ricercate nei limiti delle edizioni euclidee più diffuse in quegli anni, ovvero quelle di Campano e di Zamberti⁴. Per quello che riguarda in particolare i libri XIII-XV, Maurolico rimprovera a Campano e a Zamberti un'esposizione poco organica delle proposizioni -- per di più non sempre dimostrate in modo chiaro -- e l'assenza di numerosi risultati utili a definire una teoria esauriente dei poliedri regolari (``multa quoque necessaria deesse''). Per avere un'idea delle integrazioni operate da Maurolico, basta confrontare il numero di proposizioni presenti nelle diverse redazioni⁵:

Solo una delle tre proposizioni aggiunte al XIII libro -- la sesta -- è davvero originale, mentre le rimanenti sono tratte dal libro XIV della redazione di Campano⁶. La ragione di questo spostamento è dovuta, come spiega Maurolico, alla necessità di modificare la struttura logica del libro, in modo da rendere più semplice ed agile la dimostrazione della proposizione XIII.14, in cui si prova che il lato di un pentagono regolare inscritto in un cerchio di diametro razionale è una grandezza irrazionale detta minore.

Le redazioni di Zamberti e di Campano del XIV libro degli Elementa sono piuttosto diverse: mentre la prima si limita a determinare particolari relazioni metriche fra icosaedro e dodecaedro, inscritti nella stessa sfera⁷, la seconda presenta una versione contenente qualche risultato sui rapporti fra un tetraedro e un ottaedro inscritti nella stessa sfera⁸. Maurolico si pone nella tradizione di Campano e stabilisce facilmente nuove relazioni fra tetraedro, ottaedro e cubo, meravigliandosi che non fossero già note (``cur de comparatione trium reliquorum penitus tacetur?''). Per fare qualche esempio, il matematico messinese prova che le basi di un tetraedro e di un cubo inscritti nella stessa sfera sono inscrivibili nello stesso cerchio, oppure che il rapporto fra i volumi di un cubo e di un ottaedro è pari sia al rapporto fra le rispettive superfici, sia al rapporto fra gli spigoli del tetraedro e dell'ottaedro. Alcune di queste relazioni, determinate geometricamente, vengono poi riproposte in termini numerici nelle tabelle poste in calce ai libri XIII e XV⁹. Analoghe considerazioni valgono per il XV libro degli Elementa, dedicato allo studio delle reciproche inscrizioni fra due poliedri regolari. Mentre Zamberti esamina solamente cinque combinazioni delle venti potenziali (tetraedro nel cubo, ottaedro nel tetraedro e nel cubo, cubo nell'ottaedro e dodecaedro nell'icosaedro), Campano, e successivamente Maurolico, includono anche le otto rimanenti combinazioni realmente costruibili¹⁰.

Per concludere, si osservi che se da un lato si può affermare che le dimostrazioni non originali seguono in massima parte la tradizione euclidea di Campano, dall'altro si deve evidenziare come il lessico mauroliciano sia prevalentamente mutuato dall'edizione di Zamberti, del quale vengono frequentemente riportati -- quando esistono -- gli enunciati pressoché ad verbum. Maurolico segue la terminologia di Zamberti anche nel caso dei nomi dei poliedri regolari, che vengono definiti da Campano per mezzo di lunghe perifrasi¹¹. Nel caso dei poligoni regolari, Maurolico segue invece generalmente Campano che, curiosamente, usa termini di derivazione greca come ``pentagonus'' e ``hexagonus'' al posto di ``quinquangulus'' e ``sexangulus'' presenti nella traduzione di Zamberti.

3  Contestualizzazione dell'opera

Le prime ricerche sui solidi regolari di cui abbiamo notizia, coincidono cronologicamente con l'incarico, affidato a Maurolico dal Senato messinese nel 1528, di leggere la Sfera e l'Euclide. Nel Libellus de impletione loci, tràdito dal manoscritto San Pantaleo 117/34 (cc. 1r--20v) e datato 1529, il matematico siciliano si era infatti cimentato con il problema del tassellamento del piano e dello spazio rispettivamente con poligoni e poliedri regolari, che richiedeva una buona conoscenza della geometria dei solidi regolari. Nel 1532, fra gli uditori delle letture euclidee spiccava il nome di Girolamo Barresi, il quale, ``officii causa'', aveva potuto seguire la sola lettura dei primi dodici libri. Maurolico decise allora di donargli l'edizione dei tre libri restanti, ripromettendosi al contempo, ``ubi tempus et oportunitas dabitur'', di preparare un'intera edizione degli Elementa più corretta e completa di quelle a lui note (``totum Euclidem quandoque emaculare, facilioremque reddere decrevimus''). Le testimonianze a nostra disposizione indicano che il progetto non venne mai condotto a termine¹² e, come si è detto in precedenza, solo i libri XIII-XV vennero effettivamente pubblicati a più di quarant'anni dalla loro stesura.

Nelle varie redazioni degli Indices Lucubrationum e nei documenti programmatici che ci sono pervenuti, Maurolico, citando la propria rielaborazione degli Elementa, diede sempre molto risalto alle nuove proposizioni sui solidi regolari che aveva aggiunto a quelle euclidee. Nella dedicatoria a Pietro Bembo del 1540, per esempio, Maurolico giustificava l'inserimento delle proposizioni con la necessità di dare una teoria più completa dei poliedri regolari¹³, mentre nel De quantitate sermo (c. 16v) e nella lettera a Juan de Vega del 1556 sottolineava come le ``multae propositiones adiectae'' avessero permesso di constatare che, fissata una sfera, la successione delle lunghezze degli spigoli dei poliedri regolari ivi inscritti, posta in ordine decrescente (tetraedro, ottaedro, esaedro, icosaedro e dodecaedro) fosse simmetrica alla successione, posta in ordine crescente, dei corrispondenti volumi e, rispettivamente, superfici¹⁴. Si trova inoltre menzione di alcuni di questi risultati nel paragrafo Euclidis solida del Compendium Mathematicae pubblicato nel volume degli Sphaerica del 1558¹⁵. Infine, negli Indices lucubrationum del 1558, del 1568 e del 1575¹⁶, il messinese sintetizzava la propria rielaborazione degli Elementa con le parole:

Euclidis Elementa, discussis interpretum erroribus ...  cum additionibus quarundam propositionum praesertim ad regularia solida spectantium.

La rielaborazione dei libri XIII-XV non concluse tuttavia le ricerche mauroliciane, delle quali rimane una consistente traccia nelle Geometricae Quaestiones redatte nel 1555¹⁷. Nelle quaestiones 24 -- 32 del primo libro (cc. 5v--10r) e nel paragrafo Circa solidorum regularium latera del secondo libro (cc. 22r--31r), si ritrovano infatti i principali risultati, espressi in forma numerica, dei libri XIII e XIV. Il paragrafo successivo, intitolato Circa solidorum inscriptiones (cc. 31r--32v) si presenta come un resoconto -- privo di qualsiasi calcolo o applicazione numerica -- delle reciproche inscrizioni di poliedri regolari. In questa rassegna, Maurolico richiama risultati non inclusi nel XV libro degli Elementa ``ex traditione Maurolyci'', che riguardano alcune relazioni fra gli spigoli di poliedri reciprocamente inscritti. In particolare, il matematico messinese illustra i rapporti fra gli spigoli di due tetraedri regolari, mutuamente inscritti, di un ottaedro inscritto in un cubo e, viceversa, di un cubo inscritto in un ottaedro ed infine di un ottaedro inscritto in un dodecaedro. Si tratta di risultati che, per la loro natura, avrebbero trovato una collocazione ideale nel XV libro degli Elementa mauroliciani, ma che furono invece raccolti, come spiega l'autore, ``in nostris adnotationibus''¹⁸. Per concludere, oltre ad alcune proposizioni dei Data che esprimono, appunto sotto forma di ``dato'', alcuni risultati legati ai poligoni e poliedri regolari (propp. II.15, II.16, II.24, II.25), è bene ricordare che alcune proposizioni del De momentis aequalibus (propp. IV.2 e IV.25) sono dedicate alla determinazione del centro di gravità dei solidi regolari il quale, per evidenti ragioni di simmetria, non può che coincidere con il centro della sfera circoscritta.

4  Fortuna

L'edizione mauroliciana dei libri XIII-XV, pur risalente agli anni Trenta, venne pubblicata solo nel 1575, quando cioè erano già apparse edizioni euclidee -- basti citare quelle curate da François de Foix, conte di Candale (Franciscus Flussate Candalla) e da Cristoforo Clavio¹⁹ -- che raccoglievano moltissime proposizioni analoghe a quelle aggiunte da Maurolico nel XIV libro. Da questo punto di vista, sembra improbabile che l'edizione mauroliciana possa aver goduto di molta fortuna presso i matematici tardo cinquecenteschi. Rimane tuttavia un segno tangibile dell'influenza esercitata da quest'opera su un importante matematico quale fu Giovanni Alfonso Borelli, di cui la Biblioteca Nazionale Centrale di Roma possiede un esemplare annotato degli Opuscula Mathematica. La proposizione XIII.14 degli Elementa, di cui Maurolico enfatizzava nella dedicatoria a Barresi la semplicità e l'eleganza, fu studiata con attenzione da Borelli che, in margine, disegnò una figura alternativa a quella mauroliciana e annotò una breve variante dimostrativa di un passo del matematico messinese²⁰. La proposizione 44 del libro IX dell'Euclides Restitutus²¹, che corrisponde alla XIII.14 dell'edizione mauroliciana, propone sia la figura disegnata nel margine degli Opuscula, sia lo schema dimostrativo di Maurolico con la variante annotata da Borelli nell'esemplare romano.

5  Testimoni

• st: Euclidis Elementorum Liber tredecimus, solidorum tertium et regularium corporum primus ex traditione Maurolyci in Opuscula Mathematica, pp. 103 -- 123, siglum S7

• st: Euclidis Elementorum Liber quatuordecimus, solidorum quartus et corporum regularium secundus ex traditione Maurolyci in Opuscula Mathematica, pp. 123 -- 141, siglum S7

• st: Euclidis Elementorum Liber quindecimus, solidorum quintum et regularium corporum tertius ex traditione Maurolyci in Opuscula Mathematica, pp. 142 -- 143, siglum S7

6  Criteri di edizione

Diversi elementi sembrano indicare che l'edizione dei libri XIII-XV degli Elementa ``ex traditione Maurolyci'' sia stata curata in modo sommario. Abbiamo già notato, per esempio, che il titolo con cui si apre richiama solo il XIII libro e non il complesso dei libri solidi a cui si riferiscono le pagine proemiali successive (cfr. § 1). Inoltre, i numeri delle proposizioni, posti in margine, sono talvolta omessi, oppure in qualche caso ripetuti. Queste sviste sembrano di origine tipografica, e con ogni probabilità non appartenevano al manoscritto utilizzato per la stampa, perché dopo l'omissione o, rispettivamente, la ripetizione, la numerazione riprende correttamente, come se non ci fosse stato alcun refuso. Nell'edizione che presentiamo, la numerazione delle proposizioni è stata corretta e le eventuali discordanze con la stampa sono state segnalate in apparato.

L'analisi del testo ha inoltre permesso di rilevare alcune anomalie relative alle figure. In due casi si è notato che le figure apparivano completamente estranee al testo in cui erano state collocate, ma risultavano invece pertinenti alla proposizione precedente o alla successiva, in cui peraltro si trovava inserita una figura perfettamente identica a quella in esame²². In questi casi ci siamo limitati ad evitare di riprodurre i disegni estranei al contesto matematico nel quale erano stati impropriamente inseriti.

Come abbiamo già detto in precedenza (§ 1), in calce ai libri XIII e XV degli Opuscula, sono state pubblicate due serie di tabelle, sostanzialmente identiche, in cui vengono calcolati alcuni elementi caratteristici di poligoni e poliedri regolari. Dal momento che le carte mauroliciane ci hanno tramandato altre tabelle di questo tipo, si è ritenuto opportuno riunirle e pubblicarle in un'apposita sezione di questo volume, intitolata Tabellae planarum et solidarum figurarum laterum. Per concludere, alcuni frammenti pertinenti ai libri XIII-XV vengono pubblicati in edizioni distinte, indicate rispettivamente come De Euclidis Elementorum libro XIII adnotamenta, Regulae circa figurarum isopleurarum et solidorum regularium latera e De compaginatione solidorum regularium.

7  Fonti

Le fonti utilizzate si limitano essenzialmente agli Elementa di Euclide, nelle redazioni di Campano e di Zamberti, e all'Almagesto di Tolomeo. Dal momento che l'unico riferimento all'Almagesto riguarda il cosiddetto ``Teorema di Tolomeo'' e la sua genericità (``ut Ptolemaeus ostendit'') non consente di individuare una possibile edizione di riferimento, si è deciso di utilizzare l'edizione critica moderna curata da J.L. Heiberg.

• Camp. Elem. = Preclarissimus liber elementorum Euclidis perspicacissimi in artem Geometriae incipit quam foelicissime ... Campani commentationes, Venetiis, Erhardus Ratdolt Augustensis impressor solertissimus, 1482.

• Ptol. Synt. Math. = Claudii Ptolemaei Sintaxis Mathematica, edidit J.L. Heiberg, Lipsiae, in aedibus B.G. Teubneri, 1898, 2 voll.

• Zamb. Elem. = Euclidis megarensis ...  Elementorum libros xiii cum expositione Theonis ...  Deputatum scilicet Euclidi volumen xiiii cum expositione Hypsi. Alex. ...  Ba. Zamber. Vene. Interprete, edibus Ioannis Tacuini, 1505.

¹  Per un quadro degli scritti di geometria elementare si veda il § 1 dell' Introduzione a questo volume.

²  Per la precisione, i due libri finali degli Elementa di Zamberti recano rispettivamente i titoli In deputatum Euclidi volumen hypsiclis Alexandrini Philosophi eximii traditio e Euclidis accutissimi mathematici Liber quartusdecimus et solidorum quartus ex traditione hypsiclis Alexandrini.

³  Sulla questione dell'attribuzione dei libri XIV e XV si vedano [Heath 1956, vol.3, pp. 512-520] e [Caveing 1990, pp. 20-21].

⁴  La posizione di Maurolico in relazione a queste edizioni è espressa in dettaglio nell'Introduzione (§ 2).

⁵  Si tenga presente che le proposizioni che appaiono numerate nel quattordicesimo libro (``Traditio Hypsiclis'') dell'edizione curata da Zamberti sono solo quattro. Le nove proposizioni registrate nella tabella contano anche due aliter alla XIV.4 e tre proposizioni non numerate.

⁶  In particolare, le proposizioni 7 e 12 dell'edizione mauroliciana corrispondono rispettivamente alle proposizioni XIV.2 e XIV.3 degli Elementa ``ex traditione Campani''.

⁷  Per esempio, si prova che le basi dell'icosaedro e del dodecaedro sono inscrivibili nello stesso cerchio, oppure che il rapporto fra il volume del dodecaedro e quello dell'icosaedro è uguale sia a quello che sussiste fra le rispettive superfici sia al rapporto fra il lato del cubo inscritto nella stessa sfera ed il lato dell'icosaedro.

⁸  Ricordiamo, ad esempio, la proposizione in cui si prova che il rapporto fra le basi dell'ottaedro e tetraedro è pari a 4:3, oppure quella in cui si mostra che le superfici di questi poliedri inscritti in una sfera di diametro razionale sono grandezze mediali.

⁹  Si tratta delle tabelle indicate come Perpendiculares a centro sphaerae, cuius diameter est partium duodecim ad bases quinque corporum regularium ab ipsa sphaera circumscriptorum e Semidiametri circulorum circumscribentium bases quinque corporum regularium a sphaera, cuius diameter est partium duodecim circumscriptorum.

¹⁰  Si tratta dell'inscrizione del tetraedro nell'ottaedro, della circoscrizione del dodecaedro rispettivamente a icosaedro, cubo, tetraedro ed ottaedro e della circoscrizione dell'icosaedro a cubo e tetraedro.

¹¹  Ai termini usati da Zamberti, come ``octahedrum'', ``icosahedrum'', ``dodecahedrum'' e ``pyramidem'', Campano oppone rispettivamente le locuzioni ``corpus octo basium triangularium et aequilaterarum'', ``corpus viginti basium triangularium atque aequilaterarum'', ``corpus duodecim basium pentagonarum aequilaterarum atque aequiangularum'' e ``corpus habens quatuor bases triangulas aequalium laterum designare''. Si noti che, salvo poche eccezioni, Campano adotta queste perifrasi solo nell'enunciato ma non nelle dimostrazioni, dove fa uso della terminologia greca.

¹²  Per ulteriori notizie, si rimanda all'Introduzione di questo volume.

¹³  ``Euclidis Elementa in libellos XV ...  Adiectis praeterea circa regularia solida speculationibus complurimis, quae ad plenam ipsorum solidorum, quo ad perpendiculares, bases, superficies et corpulentias, collationem, erant necessariae, ubi plane quivis animadvertet Zambertum quamvis graece peritum, exemplaris tamen vitio deceptum peccasse, Campanum vero authoris alicubi terminos temere pervertisse''.

¹⁴  Scriveva infatti Maurolico a de Vega: ``sicut pyramidis, octahedri, cubi, icosahedri ac dodecahedri, in eadem sphaera descriptorum latus ordine, quo diximus, decrescat, ut scilicet pyramidis sit longissimum dodecahedri vero brevissimum, ita eorum tam superficies quam soliditas crescat eodem ordine, ut pyramidis sit minima, dodecahedri vero maxima''.

¹⁵  Più precisamente, i risultati elencati nel Compendium corrispondono alle proposizioni 12 -- 14, 16 -- 18, ed ai corollari delle proposizioni 18 e 20 del XIII libro, ed alle proposizioni 12, 17, 18, 31, 35 e 39 del XIV libro.

¹⁶  Pubblicati rispettivamente nel volume degli Sphaerica, in [Clagett 1974] e negli Opuscula Mathematica.

¹⁷  Le Quaestiones Geometricae, tramandate dal codice Par. Lat. 7468 (cc. 1--42) furono pubblicate da Federico Napoli ``Bullettino di Boncompagni'' alla fine del XIX secolo [Napoli 1876, pp. 50-113].

¹⁸  Si tratta presumibilmente di un'opera perduta di geometria piana, più volte citata negli Indices lucubrationum con il titolo di Adnotationes omnimodae in diversos Mathematicae locos.

¹⁹  Euclidis ...  elementa geometrica libris XV ...  restituta. His accessit decimus sextus liber Auctore Francisco Flussate Candalla, Parisiis, apud Joannem Royerium et Jacobum du Puys, 1566; Euclidis Elementorum libri XV: accessit XVI De solidorum regularium comparatione: omnes perspicuis demonstrationibus accuratisque scholiis illustrati auctore Christophoro Clavio, Romae, apud Vincentium Accoltum, 1574.

²⁰  In particolare, questa sorta di ``aliter'' borelliano, eliminava il ricorso alla proposizione XIII.6 dell'edizione mauroliciana, l'unica proposizione originale del XIII libro.

²¹  Euclides restitutus, sive prisca geometriae elementa, brevius et facilius contexta. In quibus praecipue proportionum theoriae nova, firmiorique Methodo promuntur. A Io. Alphonso Borellio in Messanensi pridem, nunc vero in Pisana Academia Matheseos Professore, Pisis, ex Officina Francisci Honophri, 1658

²²  Si tratta della seconda figura di pagina 116, identica alla figura di pagina 117, inserita nell'ambito della proposizione 18 e relativa invece alla proposizione 19. Analogamente la figura in basso di pagina 119 e le figure delle pagine 120 e 121 sono uguali, ma dal punto di vista matematico ed editoriale si giustifica la sola presenza della figura a pagina 120.

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