8

34 Si recta linea rationalis extrema et media ratione secetur, utrunque segmentorum irrationale est, appellaturque Apotome.

Linea ab longitudine rationalis, in puncto c extrema et media ratione secetur. Sitque maius segmentum bc. Aio quod tam bc quam ac Apotome est. Sit enim bd dimidium ipsius ab. Eritque per primam huius, quadratum ipsius cd quintuplum ad quadratum ipsius db quae rationalis est. 35 Itaque cd, db sunt potentia tantum commensurabiles. Quare, cum cd maius nomen sit potentia solum rationale; sequitur ut bc sit Apotome quinta, ut docet calculus.

Item comparetur ad ipsam ab longitudine rationalem, aequum ipsius bc quadrato rectangulum: eritque secundum latus ac per decimamsextam Sexti: et per nonagesimamseptimam Decimi, Apotome prima. Quod si ab sit potentia tantum rationalis, erit adhuc tam bc quam ca Apotome. 36 Tunc enim sit ef longitudine rationalis, in puncto g extrema et media ratione divisa et fg maius segmen[S:110]tum. Eritque (sicut dudum ostensum est) tam fg quam ge Apotome et quoniam per hypothesim ef ipsi ab potentia communicat et tota ef toti ab et per praecedentem, sicut fg ad ipsam bc sic ge ad ipsam ca ideo segmenta segmentis in potentia communicant per undecimam Decimi: igitur, per 103^am Decimi, tam bc quam ca Apotome est.

37 Item lineae ab in puncto c ut prius sectae maius segmentum bc sit rationale. Aio, quod ac apotome est. Et ab binomium. Secetur enim bc in puncto d per aequalia. Eritque per tertiam huius, quadratum ipsius ad quintuplum ad quadratum ipsius cd. Sed cd rationale. Ergo ac Apotome quinta. Ad quam ex bc rationali comparata latitudo, cum per decimamsextam Sexti efficiat ipsam ab erit per 113^am Decimi, ab binomium. 38 Rursus si ac minus segmentum sit longitudine rationale, aio, quod ab erit binomium primum et bc tunc binomium. Secetur enim ca in puncto d extrema et media ratione. Sitque cd maius segmentum, eruntque ab, bc, ca, cd, da continue proportionales et ideo per aequam proportionem ab, ca, da in proportione continua. Igitur ab ipsa ca ad ipsam ad Apotomen primam comparata latitudo efficiet per 113^am Decimi ab binomium primum. 39 Esto igitur ipsius ab maius nomen ae quod maius erit, quam ac quippe quae minor est, quam dimidium ab erit igitur ae longitudine rationale. Cunque sit ac longitudine rationale, erit et ce longitudine rationale. Sed eb rationalis tantum potentia. Ergo bc binomium.

Quod si bc sit potentia tantum rationale, erit adhuc ac Apotome et ab binomium. Et si sit ac potentia tantum rationale, erit demum ab binomium, et bc binomium, eo syllogismo, quo in principio de tota usi sumus.