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A cura di Veronica Gavagna Rosario Moscheo
Introduzione
1 Presentazione dell'operaUn ``enchiridium datorum brevius sed rebus usitatis refertius": così Francesco Maurolico definiva i Theonis ex traditione Pappi Datorum libelli duo cum additionibus nostris confrontandoli con i Data di Euclide1, ai quali il titolo fa riferimento. Quest'opera non si configura quindi come un semplice compendio, definizione che può al più ritenersi appropriata per il primo dei due libri, ma piuttosto come una ricca miscellanea di proposizioni di carattere aritmetico e geometrico attinte da diversi autori, fra cui lo stesso Maurolico. Il primo libro, datato 7 aprile 1554, oltre alle 15 definizioni iniziali comprende una selezione di 34 delle 95 proposizioni dei Data euclidei, che conservano la loro numerazione originale. Le prime proposizioni scelte da Maurolico sono dedicate allo studio delle relazioni fra grandezze e ai criteri che consentono di determinare univocamente un triangolo o una classe di triangoli simili. Gli ultimi teoremi, invece, studiano diverse caratteristiche dei poligoni simili ed alcune relazioni che si possono stabilire fra i lati di un triangolo avente un angolo dato. Pur evidenziando una stretta dipendenza dai Data euclidei, il primo libro cerca di mantenere al contempo una propria unità. L'insieme delle proposizioni raccolte dal matematico messinese, forma infatti un libro autonomo in cui ogni dimostrazione trova la propria giustificazione in qualche risultato precedentemente esposto, appoggiandosi eventualmente solo a proposizioni degli Elementa. La numerazione delle proposizioni si muove su due piani: a margine del testo segue i Data euclidei, mentre nel corso delle dimostrazioni si fa uso di una numerazione interna progressiva. Questi due sistemi di numerazione vengono posti in corrispondenza solamente nell'ultima proposizione, quando Maurolico rimanda alla ``26am huius libelli, quam fuit 45am in ordine Datorum''. Nella prefazione al secondo libro, datato 13 aprile 1554, l'autore spiega come le proposizioni euclidee del libro precedente debbano venire integrate da ulteriori risultati elementari sulle relazioni fra grandezze e sui triangoli, che vengono presentati nelle successive 15 proposizioni. I teoremi 16--23, che indagano le relazioni fra archi e corde di un cerchio oppure fra lati ed angoli di un triangolo, sono propedeutici ad un'ampia sezione intitolata Data Sphaeralium Triangulorum, dedicata allo studio dei rapporti fra lati ed angoli di un triangolo sferico e alla costruzione delle tre tavole trigonometriche del seno, della tangente e della secante, per la cui analisi dettagliata Maurolico rimanda ai propri Sphaericorum libri duo. L'ultima parte del secondo libro, che riprende dal teorema 24, è dedicata ai solidi regolari, alla sfera ed al cerchio. Chiude il libro un'appendice, datata 17 aprile 1554, in cui si chiede di determinare la radice quadrata e cubica di una grandezza assegnata. Il problema viene interpretato in termini geometrici e tradotto nell'inserzione rispettivamente di una o due medie proporzionali fra due grandezze date. Nel caso delle due medie proporzionali, Maurolico propone la soluzione di Filone di Bisanzio, sostanzialmente simile a quella di Apollonio, che Eutocio aveva raccolto, assieme a molte altre, nel Commento al secondo libro del De sphaera et cylindro di Archimede. 2 Tradizione e novitàDiversi elementi indicano che l'edizione dei Data euclidei utilizzata da Maurolico per la stesura del primo libro, fu quella curata da Bartolomeo Zamberti2. Non solo l'introduzione riprende alcuni concetti presenti nella ``protheoria Marini'', ma 6 delle 15 definizioni, e precisamente le definizioni 1, 2, 4, 5, 9, 10, sono del tutto identiche a quelle di Zamberti. Le differenze che presentano le rimanenti definizioni mauroliciane, oltre ad una maggiore stringatezza, vanno dalla semplice inversione di uno o più termini, alla sistematica sostituzione dei termini zambertiani ``signum'' e ``fines'' rispettivamente con ``punctum'' e ``limites''3. Per quello che riguarda i teoremi veri e propri, la dipendenza dal testo di Zamberti si limita all'adozione della stessa numerazione, posta a margine del testo. Gli enunciati, a parte il primo, sono formulati in maniera più sintetica ed inoltre, qualora lo ritenga opportuno, Maurolico non esita a raggruppare due o più proposizioni in una sola, mantenendo tuttavia nella numerazione una traccia delle proposizioni originali, indicate, ad esempio, come ``28 etc.'' oppure ``14, 15, 21, 20''. Per quello che concerne le dimostrazioni dei teoremi, la differenza col testo di Zamberti verte sulla scelta, frequentissima, di un diverso percorso logico-matematico che conduce dall'ipotesi alla tesi. Basti considerare, ad esempio, la proposizione 5 ``Totius ad abscisum ratione data: datur et totius ad residuum ratio'': mentre nei Data euclidei il ragionamento si appoggia sulle prime due definizioni e sulle proposizioni 12 e 8 del V libro degli Elementa, la dimostrazione mauroliciana si riduce ad un lapidario ``Patet per eversam proportionem''. Mentre il primo libro è interamente tratto dai Data euclidei, molto più articolata si presenta, dal punto di vista delle fonti utilizzate, la situazione del secondo libro, in cui si trovano proposizioni tratte dagli Elementa di Euclide, dall'Almagesto di Tolomeo, dal De mensura circuli e dal De sphaera et cylindro di Archimede, dal Commento di Eutocio al De sphaera et cylindro e, infine, da due opere dello stesso Maurolico, i Data Arithmetica e gli Sphaericorum Libri duo. La prima delle due opere mauroliciane citate, ovvero i Data Arithmetica, non ci è pervenuta4 -- e pertanto questo testo permette di dare un'idea del contenuto -- mentre la seconda, dal titolo Sphaericorum Libri duo, venne presumibilmente composta negli anni 1540-50 e pubblicata nel 15585. La precisione delle citazioni varia a seconda dell'autore: i rimandi agli Elementa comprendono generalmente sia il numero della proposizione che il libro a cui appartiene, mentre per Tolomeo e Archimede i riferimenti restano più vaghi. A differenza di quanto avveniva per le proposizioni dei Data euclidei del primo libro, che seguivano la numerazione dell'edizione di Zamberti, le proposizioni 15-20 ``a Ptolemaeo traditis'', pur essendo esplicitamente tratte dall'Almagesto, mantengono la numerazione del testo mauroliciano, senza offrire al lettore alcuna corrispondenza con l'opera tolemaica, rendendo quindi difficile l'indicazione materiale della fonte6. Sono di questo tipo anche le locuzioni che rimandano genericamente all'opera archimedea (``ut demonstravit Archimedes'', ``per Archimedem ostensum sit'', ... ) senza distinzione fra il De mensura circuli e il De Sphaera et cylindro da cui Maurolico trae rispettivamente le proposizioni relative al cerchio ed alla sfera. 3 Contestualizzazione dell'operaLa stesura dei Theonis Datorum ex traditione Pappi libelli duo si colloca fra il 7 ed il 17 aprile 1554 e cade in un periodo molto particolare della vita di Maurolico: il 7 novembre 1553, infatti, la municipalità messinese aveva conferito al matematico un vitalizio e si era impegnata a sostenere la pubblicazione di tutte le opere pronte per la stampa di lì a due anni7. Sebbene il corpus dell'opera mauroliciana fosse all'epoca già sostanzialmente completo, l'impegno assunto da Maurolico nei confronti della sua città lo indusse ad intensificare l'attività di ricerca per poter completare una ad una le opere che intendeva proporre per la pubblicazione. Questa febbrile attività, come mostrano le date apposte nelle carte, si orientò soprattutto verso l'aritmetica e l'ottica8 ed è quindi in questo contesto che venne a maturarsi l'idea di scrivere i Data euclidei. Sarebbe forse più corretto parlare di una nuova versione dei Data, piuttosto che di un'opera integralmente concepita in quel periodo, visto che già nella dedicatoria al Bembo del 1540, Maurolico faceva riferimento ad un'opera dal titolo ``Euclidis data ex traditione Pappi. Tralatio ex Zamberti'', che con ogni probabilità corrispondeva sostanzialmente al primo dei due libri che ci sono pervenuti. Pare tuttavia di poter affermare che i Data non fossero opera destinata alla stampa, dato che sia nella lettera a Juan de Vega del 1556, sia nell'Index lucubrationum del 1558 non se ne fa cenno. Nelle successive redazioni dell'Index (1568, 1575), l'opera viene invece nuovamente riammessa sotto il titolo di ``Theonis Data'' o ``Theonis Data geometrica'' e non viene catalogata fra i compendia, bensì fra gli aliena. Nell'elenco dei manoscritti posseduti dagli eredi di Maurolico verso la metà del XVII secolo, redatto probabilmente da G.A. Borelli9, si trova ancora citato un ``Theonis ex traditione Pappi datorum lib. p.us'': sembra improbabile che si riferisca ad un'eventuale edizione anteriore al 1540, mentre pare più plausibile l'ipotesi di un modo sbrigativo, tipicamente notarile, di fare inventari, limitandosi alla trascrizione del titolo posto nella prima carta, ``Theonis ex traditione Pappi Datorum Liber Primus''. 4 FortunaNella seconda metà del Cinquecento, la diffusione delle Mathematicae Collectiones di Pappo, tradotte in latino da Federico Commandino e pubblicate solo nel 1588, contribuì in maniera determinante allo sviluppo di una sensibilità metodologica fino ad allora rimasta latente nell'ambiente matematico. Fu essenzialmente la rilettura in chiave epistemologica del VII libro delle Collectiones, e quindi anche dei Data euclidei -- che vi figuravano come strumenti per l'applicazione del metodo di analisi e sintesi (resolutio e compositio) -- che permise a Viète di avviare una profonda riflessione sull'analysis geometrica, eletta come strumento ideale per definire i rapporti fra algebra e geometria10. La lettura dei Data da parte di Maurolico, invece, non venne filtrata dall'assimilazione del VII libro delle Collectiones, che con ogni probabilità gli erano sconosciute. Del resto, la fusione del primo libro dei Data mauroliciani con una raccolta di ``regole'' che trovavano un'immediata applicazione nella geometria pratica, sembra indicare che il matematico messinese abbia considerato il testo euclideo non tanto come una raccolta di proposizioni atte a facilitare ed abbreviare il processo di resolutio, ma semplicemente come un'appendice degli Elementa finalizzata alla risoluzione di esercizi: ipotesi, questa, che del resto l'autore stesso suggerisce nella prefazione al primo libro, quando spiega di aver tentato ``in hoc opere resolvendi et argumentandi modus et via quaedam ad praxim calculumque geometricum'' (c.1r). Una tale interpretazione del testo euclideo, quindi, segnò la fortuna dell'opera mauroliciana ed anche se non è da escludere una certa circolazione in forma manoscritta11, essa rimase ai margini di uno dei dibattiti più importanti della matematica fra Cinquecento e Seicento. 5 Testimonims: PARIS, Bibliothèque Nationale, Lat. 7467 (siglum A11) 6 Criteri di edizione
L'analisi del manoscritto consente di sostenere che, con ogni probabilità, il primitivo progetto mauroliciano prevedeva la suddivisione dei Data in tre anziché in due libri. L'ipotesi è stata avanzata12 principalmente sulla base della nota scritta a c.2v, dopo il teorema 32:
A questa nota seguiva poi un colophon scritto con inchiostro rosso, che successivamente è stato quasi completamente cancellato per inserire il teorema indicato come ``14, 15, 20, 21''. Questi indizi inducono a ritenere che il primo dei tre libri dovesse terminare con il teorema 32, che concludeva la trattazione dei rapporti fra grandezze, in modo da poter riservare il secondo libro ai triangoli. A sostegno di quest'ipotesi si aggiunge ora un altro elemento. Come si è detto in precedenza (cfr. § 1), la numerazione dei teoremi del primo libro, posta a margine del testo, segue i Data euclidei, ma esiste parallelamente anche una numerazione interna che appare modificata da Maurolico in un momento successivo alla stesura del testo. Se si osserva il manoscritto, infatti, si può vedere che le proposizioni 22 e 23 ``huius libelli'', citate nei teoremi 45 e 46, erano originariamente indicate come proposizioni 2 e 3: il 2 è stato anteposto solo in un secondo momento. Ancora più significativo il caso del teorema 47: poiché la citazione rimandava alla ``tertiam huius'', Maurolico è stato costretto ad aggiungere ``20am'' in interlinea. Nel teorema 45, presumibilmente per una svista dell'autore, è stato invece mantenuto il riferimento alla ``5am huius'' anziché alla ``25am huius'', che sarebbe stato più coerente dal punto di vista matematico. La correzione apportata da Maurolico indica dunque che inizialmente il primo libro doveva raccogliere solamente 20 proposizioni, delle quali si è dovuto tenere conto, nella numerazione interna, quando successivamente il primo ed il secondo libro vennero fusi in uno unico. Per concludere, va osservato che il manoscritto presenta alcune inesattezze matematiche, che sono state corrette nel testo critico e segnalate in apparato. 7 Fonti
1 In quest'opera Maurolico non attribuisce mai i Data ad Euclide, ma sempre a Teone. Successivamente, nella lettera indirizzata al vicerè Juan de Vega nel 1556, si riferirà ai ``Datorum Euclidis sive Theonis''. 2 Euclidis megarensis philosophii platonij mathematicarum disciplinarum Ianitoriis: habent in hoc volumine quicumque ad mathematicam substantiam aspirant: Elementorum libros xiii cum expositione Theonis insignis mathematici ... Deputatum scilicet Euclidi volumen xiiij cum expositione Hypsi. Alex. Itidemque et Phaeno. Specu. et Perspe. cum expositione Theonis ac mirandus ille liber Datorum cum expositione Pappi mechanici una cum Marini dialectici protheoria. Ba. Zamber. Vene. Interprete, edibus Ioannis Tacuini, 1505. Per un'analisi dettagliata della dipendenza dei Data mauroliciani dall'edizione di Zamberti, si rimanda a [Gavagna, Moscheo 2002, pp. 274-278.]. 3 È opportuno segnalare la correzione apportata da Maurolico al refuso tipografico contenuto nella definizione 12 che recita: ``Magnitudo magnitudine dato minor est quam in ratione; quando apposito dato, reliquum ad idem rationem habuerit datam.'' Il matematico messinese corregge correttamente il termine impreciso reliquum con totum. 4 Una copia autografa dei Data Arithmetica, risalente al 1532, si trovava nel codice villacanense, oggi perduto, descritto in [Macrì 1901, pp. 4, 101-103] e successivamente in [Moscheo 1988b, pp. 303-309]. Sui Data Arithmetica si veda anche [Gavagna, Moscheo 2002, pp. 282-285.]. 5 Sulle vicende di questa travagliata edizione si veda [Moscheo 1996, pp. 38-84]. 6 In [Gavagna, Moscheo 2002, pp. 285-287.] si ipotizza che la fonte delle proposizioni ``tolemaiche'' sia, piuttosto che l'Almagesto, l'Epitome che ne fece Regiomontano. 7 La vicenda si trova documentata in [Moscheo 1996]. 8 Nel volume scritto da [Moscheo 1988b, pp. 515-19], si trova una cronologia degli scritti mauroliciani che testimonia l'intensificarsi degli lavori negli anni 1554-1555. Da questo elenco si vede fra l'altro come tra la redazione del secondo libro (13 aprile) e l'appendice (17 aprile) si debba anche collocare la stesura dei Phaenomena di Euclide (16 aprile) che, a differenza dei Data, verranno pubblicati nel 1558. 9 L'elenco è stato pubblicato per la prima volta in [Moscheo 1988b, pp. 417-426]. 10 Per un approfondimento sulla questione del metodo nella matematica cinquecentesca si veda [Freguglia 1988 e 1999 ], mentre si rimanda a [Brigaglia, Nastasi 1986] per un'analisi del metodo di resolutio e compositio in Viète e Ghetaldi. 11 Nella prefazione alla propria edizione dei Data (Euclidis Data. Opus ad veterum Geometriae Autorum Archimedis, Apollonij, Pappi, Eutocij, caeterorumque non modo lectionem, sed ad Geometricae quoque Analyseos instaurationem plane necessarium et a multis diu desideratum, Lutetiae Parisiorum, impensis Melchioris Mondiere, 1625), Claude Hardy cita Maurolico due volte, ma tali riferimenti si mantengono su un livello abbastanza generale e non consentono di affermare con certezza che il matematico francese abbia effettivamente visto il manoscritto mauroliciano dei Data. 12 Si veda [Moscheo 1988b, p. 191].
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