66.^a

In triangulo datum angulum habente, quod sub lateribus datum angulum continentibus continetur, rectangulum datam habebit rationem ad triangulum.

35 Triangulum abc datum habeat angulum a. // Dico quod rectangulum bac ad triangulum abc datam habebit rationem. // Ducatur enim bd perpendicularis ad latus ac. Datique erunt anguli trianguli bad et ipsum triangulum abd specie datum. 36 Igitur ratio ab ad bd data: verum sicut ab ad bd, sic rectangulum bac ad rectangulum bd ac. Igitur ratio rectanguli bac ad rectangulum bd ac data. Sed rectangulum bd ac duplum est trianguli abc. Ergo ratio rectanguli bac ad triangulum abc data, sicut proponitur.

67.^a

37 In triangulo datum angulum habente, area, qua potentius est aggregatum <laterum¹⁷> datum angulum continentium, latere reliquo, datam habebit rationem ad triangulum.

Triangulum abc habeat angulum a datum. // Dico quod quadrati quod ex bac tamquam uno, excessus super quadratum bc datam habebit rationem ad triangulum abc. // Producatur enim ba sitque ipsi ca aequalis ad. Et coniungatur ac producatur dc donec ipsi be ad aequidistantiam ipsius ac ductae coincidat. 38 Eruntque triangula dac, dbe similia: et ideo ipsae db, be aequales. Secetur per medium ed in puncto f [A:5r] eritque per 5^am Secundi Elementorum, rectangulum dce cum quadrato cf aequale quadrato df. // Apponatur utrobique quadratum bf, eritque rectangulum dce una cum quadrato cf et quadrato fb, aequale quadrato df cum quadrato fb. 39 // Sed per penultimam Primi, quadratum cf <et¹⁸> quadratum fb simul aequalia sunt quadrato bc. // Et quadratum df quadratum fb simul quadratum bd. // Igitur rectangulum dce cum quadrato bc simul aequum est quadrato bd, hoc est quadrato bac laterum tamquam unius. // Excedit ergo quadratum bac ipsum quadratum bc in rectangulo dce. // 40 Demonstrandum itaque quod rectangulum dce ad triangulum abc rationem habet datam. Sic. // Cum angulus bac sit datus: dantur anguli trianguli cad; et triangulum cad specie datur. Quare quadrati ad ad quadratum dc ratio datur. // Et quoniam propter aequidistantiam linearum ac, be, sicut ba ad ad sic ec ad cd; sicut autem ba ad ad sic rectangulum ba ad ad quadratum ad. 41 Itemque sicut ec ad cd, sic rectangulum ec cd ad quadratum cd; propterea sicut rectangulum ba ad ad quadratum ad sic rectangulum ec cd ad quadratum cd et permutatim. // Datur autem ratio quadrati ad ad quadratum cd. 42 Igitur datur ratio rectanguli ba ad ad rectangulum ec cd. // Sed cum ca, ad sint aequales, iam ipsum rectangulum bad est ipsum rectangulum bac. // Ergo ratio rectanguli bac ad rectangulum ecd datur. // Cumque angulus bac datus sit, datur per praecedentem ratio rectanguli bac ad triangulum abc. // Itaque ex aequali, dabitur ratio rectanguli ecd ad triangulum abc. Quod fuit demonstrandum.

80.^a

43 In triangulo datum angulum habente, si quod sub lateribus datum angulum continentibus continetur rectangulum datam habeat rationem ad id, quod ex reliquo latere [A:5v] quadratum, datur triangulum specie.

44 Sit triangulum abc angulum a datum habens: et rectangulum bac datam habeat rationem ad quadratum bc. // Aio quod datur specie triangulum abc. // Cum enim angulus a datus sit, excessus ipsius¹⁹ quadrati bac tamquam unius super quadratum bc ratio ad triangulum abc²⁰ per praecedentem datur. Esto talis excessus area d. // Datur ergo ratio areae d ad triangulum^lum abc. // Sed per antepraemissam trianguli abc ratio ad rectangulum bac datur, quoniam angulus a datus est. // 45 Per hypothesim autem datur ratio ipsius rectanguli bac ad quadratum bc. // Ex aequali ergo, dabitur ratio areae d ad quadratum bc. // Et coniunctim dabitur ratio aggregati ex area d et quadrato bc hoc est ipsius quadrati bac tamquam unius ad quadratum bc. 46 // Quare et ipsum bac, quod est laterum ba, ac aggregatum circa angulum a datum habebit rationem datam ad latus bc. Namque quadratorum datam rationem habentium latera datam rationem habent. // Atque ideo per 26^am huius libelli, quam fuit 45^am in ordine Datorum, triangulum abc dabitur specie. Quod fuit demonstrandum.

bac

area d --------- per praemissam   abc  bc --------------- per hypothesim  bac

per antepraemissam

Catanae, VII Aprilis M. D. L. IIII.