Theoremata

1.^a

7 Datarum magnitudinum ratio ad invicem datur.

Quoniam scilicet per primam diffinitionem datis aequales exhibitae eandem, et perinde per 2^am datam habebunt rationem.

2.^a

Si duarum magnitudinum ratio data sit et earum altera data: datur reliqua.

Constat per 12^am 6ⁱ et diffinitiones praedictas.

3.^a

8 Datarum magnitudinum, datur aggregatum.

Constat.

4.^a

Datarum magnitudinum, datur excessus.

Patet per se. [A:2r]

5.^a

9 Totius ad abscisum ratione data: datur et totius ad residuum ratio.

Patet per eversam proportionem.

6.^a

Si partium data sit ratio: dabitur et totius ad singulas partes ratio.

Patet per coniunctam proportionem.

7.^a

10 Si detur totum et ratio partium: partes singulae dantur.

Patet per 11^am Sexti.

8.^a

Quae ad unum rationem habent datam: et ad invicem datam rationem habebunt.

Patet ex aequa proportione.

9.^a

11 Si duo inter se datam habeant rationem: et singula ad alterius ordinis singula datam rationem: iam et duo dicti ordinis inter se datam habebunt rationem.

Patet ex aequa proportione.

10.^a

12 Si magnitudo magnitudine dato maior fuerit, quam <in¹> ratione; et earum aggregatum eadem dato maior erit, quam <in²> ratione. Et e contrario.

Patet coniunctim et divisim.

11.^a

Si magnitudo magnitudine maior dato fuerit, quam in³ ratione: et eadem ipso aggregato, maior erit dato, quam in ratione.

Patet componendo et dividendo.

22.^a

13 Duarum magnitudinum, quae singulae ad tertiam habeant rationem datam, et aggregatum ad eandem datam habebit rationem.

23.^a

Si totum ad totum rationem habuerit datam, habuerint autem et partes ad partes singulae ad singulas rationes datas, licet non easdem. Et omnia ad omnia rationes datas habebunt.

14 Hoc absolvetur faciendo aliqua segmenta proportionalia, et arguendo per 19^am Quinti et per aequam proportionem, et per disiunctam. [A:2v]

24.^a

Si in tribus continue proportionalibus, extremorum ratio data sit: dabitur et primi ad secundum ratio.

Patet, quoniam primi ad tertium ratio, eius, quae primi ad secundum, rationis dupla est.

25.^a

15 Rectarum positione datarum se invicem secantium, punctum sectionis positione datur.

Nam ex positione linearum data, certiores de sectionis puncto sumus.

26.^a

Si lineae limites sint positione dati: datur linea magnitudine.

Patet, nam limites terminant ipsam magnitudinem.

27.^a

16 Si lineae positione et magnitudine datae unum extremum detur, dabitur reliquus.

Patet.

28.^a etc.

Linea vero positione data: quaecunque alia linea per datum punctum, illi aequidistans, sive ad datum angulum incidens: sive data magnitudine eadem dabitur et positione.

32.^a etc.

17 Parallelis positione datis superveniens linea data magnitudine datos facit angulos. Et datos facit angulos, datur magnitudine. Et si superveniens a dato signo ducatur, in datam rationem secabitur. Et si ad datam rationem secetur, acta per signum⁴ penes parallelos datur positione.

18 Haec uti praecipua et maxime necessaria, et alioquin facilia, ex quibus ceterae quaestiones emanari possunt, decerpsimus finem primo libello imponentes.

14.^a, 15.^a, 21.^a, 20.^a

19 Si fuerint duae datae magnitudines: duaeque aliae datam rationem ad invicem habentes: atque singulae singulis additae, [A:3r] sive ablatae fuerint: aggregata, sive residua datam inter se rationes habebunt: si quatuor magnitudines proportionales erant: secus vero aggregatum aggregato, sive residuo, dato maius erit quam in ratione.

Scholium⁵

20 Sed in 21^a6 Theon repetit illud, quod in 14^a. Et supervacuus est.