Euclidis elementorum compendia

13 ott. 2002

• 1  Presentazione dell'opera
• 2  Tradizione e novità
• 3  Contestualizzazione dell'opera
• 4  Fortuna
• 5  Testimoni
• 6  Criteri di edizione
• 7  Fonti

1  Presentazione dell'opera

In quest'edizione presentiamo i Compendia dei libri I--IX degli Elementa dedicati rispettivamente alla geometria piana (libb. I-IV), alla teoria delle proporzioni (libb. V-VI) e all'aritmetica euclidea (libb. VII-IX). Il testo ci è stato tramandato nel manoscritto parigino Par. Lat. 7463 (siglum A6) ed è così suddiviso:

Nello stesso manoscritto è contenuto anche il libro X (cc. 33r--43v), datato 11 marzo 1567 (con aggiunte del 27 novembre 1568 e 24 dicembre 1569). È attualmente in fase di trascrizione.

2  Tradizione e novità

Nello scholium alla proposizione IX.21 Maurolico riassume il contenuto dei Compendia con queste parole:

Itaque post quatuor Elementorum geometriae libros, in quinto, per congruas diffinitiones, quidquid de ratione ac proportione praecipuum ac magis necessarium erat in sexto quidquid ad figurarum proportionem ac similitudinem spectabat. In septimo quae ad proportionem numerorum. In octavo, quae ad eorum numerationem. In nono quae ad ductum faciebant, abiectis iis, quae facile notescebant aut quae, absque necessitate laborem accumulabantur, facilius ac brevius, item nonnulla scitu iucunda, et ab Euclide omissa, paucis hactionus demonstravimus. Superest negocium perfecti numeri, ut huic nono finem imponamus.

Sebbene questa descrizione renda evidente come l'interesse del matematico messinese fosse focalizzato essenzialmente sui libri V--IX, non bisogna tuttavia concludere affrettatamente che i primi quattro libri seguano, senza alcuna originalità, la tradizione euclidea di Campano da Novara o quella di Bartolomeo Zamberti. In molte circostanze -- ricordate nell'introduzione al volume (§ 2) -- Maurolico aveva aspramente evidenziato i limiti delle edizioni di Campano e di Zamberti, né aveva risparmiato critiche a Jacobus Faber Stapulensis, che si era limitato a giustapporre le due redazioni senza nessun ulteriore intervento. Scriveva infatti Maurolico nella lettera a Juan de Vega del 1556:

Celebris erat in euclideis libris apud nos Campani traditio; transtulit inde Zambertus Theonis editionem. Jacobus Faber hos in unum iunxit; utique melius facturus si e duobus unum opus coaptasset, ne idem bis repeteret. Nam, cum uterque peccasset, uterque corrigendus erat. Campanus enim, ingenio ac professioni confisus, multa in diffinitionibus perperam mutavit, nonnunquam aliquid ad usum adiicit. Zambertus, dum omnia fideliter transfert, ignarus negocii ne quidem mendas graeci exemplaris animadvertit, totusque in Campanum et ultra modestiae terminos excandescit, atque ibi ut plurimum eum carpit, ubi reprehendendus non est.

In uno scholium del libro I dei Compendia, Maurolico ribadisce i giudizi severi su Campano e Zamberti, ma si esprime in termini assai meno aspri nei confronti di Faber, affermando che ``rectius Faber ac modestius utrique viro consuluit, et studiosis omnibus profuit''. Nonostante il giudizio appaia più temperato, l'opinione del messinese non doveva poi essere molto mutata, dato che i Compendia elementorum -- almeno per i primi quattro libri -- si configurano proprio come quella rifusione delle tradizioni di Campano e Zamberti, che Maurolico aveva rimproverato a Faber di non aver fatto (``utique melius facturus si e duobus unum opus coaptasset'').

Dal confronto puntuale fra i testi di Campano, Zamberti e Maurolico, si vede che la rilettura ex traditione Maurolyci si imposta essenzialmente su due piani

1. Il piano linguistico.

   In linea di massima Maurolico segue la terminologia di Zamberti, che agli arabismi come ``helmuayn, similis helmuayn, helmuariphe'' -- per fare un esempio -- preferisce rispettivamente ``rhombus, rhomboides, trapezium''. Analogamente ai termini ``tetragonus longus, rectae aequidistantes'' Maurolico preferisce i corrispettivi ``rectangulus'' e ``parallelae''. Nel caso in cui nell'edizione di Zamberti si trovino lunghe perifrasi, Maurolico non esita comunque ad adottare termini di probabile derivazione araba come ``arcus'' e ``chorda'', oppure ad introdurre termini come ``celsitudo'' per altezza.

2. Il piano matematico.

   Sebbene la maggior parte delle proposizioni siano limitate al solo enunciato -- con l'eccezione del II libro e parte del III, di cui diremo in seguito -- nei Compendia troviamo una selezione critica delle ``additiones Campani'', che risultano di volta in volta:

   • integrate nel compendio mauroliciano senza alcun riferimento all'autore;

   • integrate nel testo dopo essere state emendate, come nel caso dell``additio'' finale del libro I, in cui si chiede di costruire un quadrato equivalente alla somma di due quadrati assegnati. La formulazione mauroliciana (``Hinc fieri poterit duobus vel quotlibet propositis quadratis aequale quadratum'') evita il paralogismo in cui era caduto Campano, che aveva introdotto nell'enunciato il termine 'gnomone' definito solo nel II libro (``Propositis quibuscunque quadratis, alteri illorum gnomonem reliquo aequalem describere'');

   • completamente ignorate, come nel caso delle ``additiones'' del libro III, tutte legate alla delicata questione dell'angolo di contatto;

   • aspramente criticate, come nel caso dell'``additio'' finale del IV libro. Scrive Maurolico: ``Verum attende quod omnis figura aequilatera circulo inscripta est etiam aequiangula. Non autem e converso, nisi laterum numerus sit impar. Item omnis figura aequiangula circulo circumpscripta est etiam aequilatera: non autem e converso, nisi laterum sit impar. Atque hic notandus est error Campani 4ⁱ libri finis''. La stessa critica si trova in diversi altri documenti, fra cui il De quantitate sermo del 1554 (c. 18r), le lettere a Simone Ventimiglia e a Juan de Vega del 1556, in cui si esibiscono inoltre alcuni controesempi e si cita il Commentariolus di Regiomontano quale fonte di riferimento¹.

Il terzo libro dei Compendia, che studia le proprietà della circonferenza e del cerchio, contiene 36 proposizioni. Delle prime 33 proposizioni viene dato solo l'enunciato e a margine della III.33 Maurolico annota il significativo commento ``Hucusque omnia facilia''. Le proposizioni finali (propp. 34--36 e corollario) vengono invece dimostrate con gli ``schemi mauroliciani''. Va poi sottolineato che il messinese propone una nuova dimostrazione delle proposizioni 34 e 35 e del corollario nel libro VI (propp. 14--15 e corollario) chiosando ``Quamvis hae duae in fine tertii fuerint demonstratae. Hic tamen ex similitudine triangulorum facilius concluditur''.

Mentre per i primi quattro libri la rielaborazione mauroliciana non si discosta significativamente dalla tradizione euclidea di Campano e di Zamberti, a partire dal quinto -- ovvero dalla teoria delle proporzioni -- il matematico messinese cambia l'impostazione e anche la struttura dei libri euclidei. Per rendersene conto, basta confrontare il numero delle proposizioni contenute negli Elementa di Campano e Zamberti con quello dei Compendia di Maurolico: i primi quattro libri contengono praticamente lo stesso numero di proposizioni (esclusi gli ``aliter''), mentre i libri successivi -- soprattutto il VI ed il VII -- appaiono notevolmente ridotti.

Mentre la redazione del V libro degli Elementa che ci è stata tramandata dal manoscritto San Pantaleo 116 e datata 1534 rimaneva sostanzialmente aderente alla tradizione, la teoria delle proporzioni espressa nei Compendia si differenzia già a partire dalla definizione di proporzionalità:

Come si può vedere, nella definizione mauroliciana si menzionano solo rapporti e non grandezze ed inoltre viene citata una non meglio specificata ``ratio nominata''. Sulla base del ruolo giocato dalla ``ratio nominata'' nel V libro, Jean Pierre Sutto, che ne ha pubblicato un'edizione critica (2000), ha concluso che ``un rapport nommé est donc en fin de compte un rapport entre grandeurs commensurables, que l'on pourra nommer par les termes qui composent le rapport numérique qui lui est égal'' (p. 68). Rimandiamo allo studio di Sutto per un'analisi critica del V libro, limitandoci ad osservare che l'introduzione della ``ratio nominata'' e l'eliminazione del concetto di equimultiplo dalla definizione di uguaglianza di rapporti, portano ad una profonda revisione della struttura del V libro in una prospettiva aritmetizzante. Nella redazione ex traditione Maurolyci, tanto per fare un esempio, molti dei principali risultati euclidei rientrano fra gli assiomi, come ha ben sintetizzato Sutto nella seguente tabella di corrispondenza:

Nel VI libro, dedicato alle applicazioni della teoria delle proporzioni alla geometria piana, Maurolico non presenta radicali innovazioni, ma dà molto rilievo ad un risultato (prop. VI.6), assente sia nel testo di Campano che in quello di Zamberti, che potremmo definire una sorta di ``Teorema di Pitagora generalizzato'':

In triangulo orthogonio, si super tria latera singulae figurae similes ac similiter describantur; figura super maximum latus descripta aequalis erit reliquis duabus simul sumptis.

Il Teorema di Pitagora, come si vede immediatamente, risulta un caso particolare di questa proposizione e Maurolico sottolinea questa dipendenza nello scholium finale del sesto libro:

Similiter, ingeniose lector, in sexta sesti per similitudinem triangulorum facilius et universalius ostendebatur penultima primi. Non solum scilicet de quadratis, sed de quibuscumque similibus ac similiter positis figuris.

Per concludere, i libri aritmetici VII--IX, ricchi di esempi numerici e di dimostrazioni semi-algebriche, presentano l'aritmetica euclidea ridistribuita secondo nuovi criteri: ad esempio, le propp. IX.8 e IX.9, in cui viene spiegato come determinare rispettivamente il massimo comun divisore ed il minimo comune multiplo fra tre numeri corrispondono alle proposizioni VII.3 e VII.38 dell'edizione di Zamberti. Un'analisi critica dei libri VII--IX non può prescindere quanto meno dal confronto con gli Arithmeticorum libri II a cui Maurolico spesso rimanda. Basti pensare, per non fare che un esempio, che lo scholium alla proposizione IX.23 propone una definizione di numero perfetto che ricalca quasi ad verbum sia la definizione pubblicata nel primo degli Arithmeticorum Libri duo -- al quale rimanda esplicitamente -- sia quella pubblicata nei Problemata Mechanica². Gli aspetti dell'aritmetica euclidea nell'opera di Maurolico sono stati solo parzialmente esplorati, tuttavia alcune considerazioni si possono trovare, oltre che nell'introduzione al terzo volume (Arithmetica et algebra) e agli Arithmeticorum Libri, anche negli studi di Jean Pierre Sutto (1998 e 2001).

3  Contestualizzazione dell'opera

Pur non addentrandoci nell'evoluzione della riflessione euclidea nel pensiero mauroliciano, ampiamente discussi nell'introduzione al volume, per inquadrare il contesto nel quale vennero realizzati i Compendia, basterà ricordare che negli anni Sessanta, Maurolico venne coinvolto dai Gesuiti del Collegio di Messina nel progetto di una nuova sistemazione didattica dei Collegi della Compagnia. A questo scopo, realizzò una serie di compendi, fra cui il compendio dei libri XI--XII degli Elementa, risalente al 1564, e quello dei primi dieci libri, redatto nei primi mesi del 1567.

A partire dall'Index lucubrationum del 1568, infatti, i Compendia entrarono a far parte della produzione scientifica mauroliciana e vennero citati ponendo l'accento sulla nuova impostazione data dall'autore alla teoria delle proporzioni:

Elementorum Euclidis Epitome. Cum novis et artificiosissimis praesertim circa proportiones demonstrationibus et diffinitionibus [Clagett 1974, p. 183]

Nell'Index lucubrationum del 1575 Maurolico, infine, sottolinea l'originalità del proprio compendio euclideo con maggiore enfasi:

Elementorum Euclidis Epitome, cum novis et artificiosissimis in quintum, in arithmetica in decimum et in solidorum libros demonstrationibus.

4  Fortuna

I primi nove libri dei Compendia Elementorum, come la maggior parte degli scritti di geometria euclidea, sono rimasti manoscritti. Solo in tempi recentissimi Jean Pierre Sutto ha pubblicato l'edizione critica del quinto libro (2000). Tuttavia, alcune possibili influenze della geometria euclidea ex traditione Maurolyci sull'edizione degli Elementa curata dal gesuita Cristoforo Clavio, sono discusse nel § 7 dell'introduzione al volume.

5  Testimoni

ms: Par. Lat. 7463 (siglum A6).

6  Criteri di edizione

Come già avvertito, il compendio del X libro è tuttora in fase di trascrizione. Nell'edizione dei primi nove libri (cc. 2r--32r di A6), abbiamo trascritto fedelmente l'autografo, dando conto in apparato dei vari interventi di Maurolico

7  Fonti

Euclidis Elementa edidit et latine interpretatus est I.L. Heiberg, Lipsiae, in aedibus B.G. Teubneri, 5 voll. (1883-1888)

¹  Leggiamo infatti nella lettera a Ventimiglia: ``Campanus circa finem 4<sup>i</sup> omnem figuram aequilateram tam circulo inscriptam quam circumscriptam esse etiam ait aequiangulam, errat, nam rhombus aequilatera figura est et circulo circumscriptibilis non tum aequiangula; e contrario rectilinea figura aequiangula circulo circumscripta est etiam aequilatera, non item inscripta, nam tetragonum rectangulum circulo inscriptum aequiangulum est non autem aequilaterum. Tum hae duae propositiones quas falsas diximus verae sunt sub impari laterum numero'', mentre nella lettera a de Vega cita anche la fonte delle critiche ``Sed hec et alia Campani placita in geometricis elementis reiicienda esse Joannes Regimontanus in commentariolo quodam optimis ostendit argumentis''.

²  Per ulteriori informazioni sulla questione si rimanda all'introduzione degli Arithmeticorum Libri e dei Problemata Mechanica.

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