[A:52r] Euclidis Elementorum liber secundus

<1> 1 Parallelogrammum rectangulum sub conterminis lateribus contineri dicitur.

<2> Partiale autem parallelogrammum, quod circa diametrum una cum supplementis sumptum gnomon vocetur.

1^a

2 In quamvis lineam producta partium conficiunt productum integri.

3 4 12 27 5 15

Constat per se, sive per lineas, sive per numeros agas.

2^a

3 Producta partium in totum conflant quadratum totius.

5 3 15 2 10

3^a

4 Quadratum partis cum producto partium consummat productum totius in dictam partem.

3 9 2 6

3 15 5

Constat sicut prima.

4^a

5 Quadrata partium cum duplo producti partium constituunt quadratum totius.

Constat per 2^am et 3^am.

5 3 15 9   per 2am     per 3am     6 2 10 4                   6

5^a

6 Linea aequaliter et inaequaliter divisa, productum partium inaequalium cum quadrato mediae aequiperat quadratum dimidiae.

Per 4^am, 3^am, p^am.¹

5 2 (per 4am) 25 4 3 9 (per 3am) 15 (per p.am) 21   6     6

6^a

7 Productum totius in adiectam cum quadrato dimidiae conficit quadratum ex aggregato dimidiae et adiectae.

Constat per 4^am et p^am.²

5 5 (per 4am) 64 25 3 9 (per p.am) 39   15     15

7^a

8 Quadratum totius cum quadrato unius partium valet duplum producti totius in ductam partem cum quadrato reliquae partis accepti.

Per 4^am et 3^am.³

3 (per 4am) 25 9 2 4 (per 3am) 10   6     6 10 2 4

8^a

9 Item quadratum totius aequivalet quadruplum producti partium cum quadrato differentiae partium acceptum. Per 4^am4.

per 7am 10 3 (per 4am) 49 25 10 2 4 9 2 10     10

9^a

10 Linea aequaliter et inaequaliter divisa, quadrata partium inaequalium conflant duplum quadratorum, quae ex dimidia et ex media.

Per 4^am et 7^am.⁵

5 (per 4am) 49 25   4 2   10 per 7am 25     10 3   9 4

10^a

11 Quadratum totius cum quadrato unius partis duplum efficiunt quadratorum quae fiunt ex dimidio reliquae partis et ex ea, quae constat ex tali dimidio et parte alia.

Per 4^am et 7^am6.

5 (per 4am) 169 25   64 5   40 per 7am 25   40 3 9 64

11^a

12 Datam lineam sic secare, ut quod sub tota et una partium continetur, aequum fit quadrato reliquae.

ab sit linea data. Eius quadratum abcd. Ipsius ab 1/2 sit be. Ipsique ea aequalis ef et compleatur quadratum bfgh. Nam tunc ab in puncto h sic secatur, ut proponitur. [A:52v]

13 Nam cum db per aequalia secetur in puncto e.

df fb  eb

per 6am valet  ef vel <  >  ea

Ergo per penultimam primi valent

	ab
	be

14 Quare, dempto utrinque  be superest  df fb aequum  ab.

Et rursus, dempto utrinque ^lo  dbh, superest ^lum  ch aequum  hf.

Igitur linea ab in puncto h secta est sicut proponitur. Unde, si ponatur linea ab 4^or pedum erit be 2 pedum. Quare linea ab   20 et ideo bf, hoc est bh erit   20 2 irrationalis, quae vocatur Apotome quinta.

12^a

15 Cathetus intrinsecus in triangulo ita dividit basim, ut quod fit ex differentia portionum in totam basim, aequale fit differentiae quadratorum quae ex reliquis lateribus.

In triangulo abc cadat perpendicularis bd in basim ac sitque portio cd maior quam da cuia equale sit de eritque portionum basis differentia ec. Eritque

⁷

8  ac ce 9  ad

per 6am aequum to  cd 10

16 Apponatur utrobique  bd ¹¹ eritque per penultimam primi

12  ac ce 13  ab

aequum to  bc 14

Corollarium

17 Igitur differentia quadratorum ab, bc divisa in basim ac exhibet lineam ec, quae est differentia portionum.

13^a

In omni triangulo latus oppositorum acuto coeteris duobus minus potest [A:53r] duplo producti unius eorum et portionis eius, quae perpendiculari et acuto interiacet.

18 Sic argue

ac per 2am   ac ea  ac ea   ac ce per praemissam   bc   ab

¹⁵

19 Igitur ^tum  bc minus potest ^tis ipsorum ab, ac simul sumpti in ^lo ac ea, hoc est in duplo ac ad quod est propositum. Et est propositio 13^a 2ⁱ Euclidis.

14^a

20 In triangulo amblygonio, latus obtusum subtendens angulum plus potest duobus caeteris duplo producti unius eorum et continuatae usque ad cathetum ab acuto cadentem.

Triangulum abc habeat angulum bac obtusum et ca producta occurrat perpendiculari bd apud punctum d. Et sic argunt.

ca  ad  ca ad  ca ad

per 4am  cd

21 Ergo apposito utrobique ^to  bd, ex penultima primi

ca  ad  ca ad  ca ad

simul aequalia erunt  bc

¹⁶

Quare ^tum  bc lateris respicientis angulum bac obtusum maius potest lateribus ba, ca in duplo  ca ad quod est propositum. Et haec est propositio 12^a 2ⁱ Euclidis.

15^a

22 Cathetus extra occurrens basi productae in triangulo amblygonio efficit differentiam quadratorum ex reliquis lateribus aequalem ei, quod fit ex basi, in eam quae constat ex ipsa basi duploque lineae sequentis usque ad cathetum.

Constat in figuratione 13^ae praemissae.

Corollarium

23 Igitur in figuratione praecedentis differentia quadratorum ab, bc divisa per [A:53v] basim ac exhibet aggregatum ex ac duploque ad unde si a tali aggregato auferantur ac superest duplum ipsius ad cuius 1/2 erit ad.

16^a

Dato parallelogrammo rectangulo aequale quadratum describere.

24 Sit datum rectangulum quod ex ab in bc. Secetur ac per aequali in puncto d. Et ^tum  cd excedat ^tum  db in ^to  lineae e. // Tunc enim per quintam, ^tum  lineae e erit aequum ^lo  abc. Namque per 5^am,

abc  db

aequalia sunt to  cd

25 Sed per hypothesim

e  db

aequalia sunt to  cd

Igitur ablato utrinque ^to  db, superest  abc aequale ^to  e quod erat faciendum.

17^a

Dato triangulo aequum quadratum describere.

26 Constituatur parallelogrammum rectangulum aequale dato triangulo per 42^am primi. Et per praecedentem, parallelogrammo aequum quadratum.

18^a

Dato trapezio sive quotcunque laterum rectilineo, aequale quadratum describere.

27 Resolvatur trapezium sive rectilineum in triangula et triangulus singulis per praecedentem describantur quadrata singula aequalia deinde per penultimam primi, fiat quadratum omnibus illis quadratis aequale. Quod quidem aggregato triangulorum et perinde proposito rectilineo aequum erit. Sic per¹⁷ calculum notae sunt¹⁸ demonstrationes.

Hora 22^a diei quae fuit dominica 60^a 29^o Ianuarii 1570