[A:12r] ELEMENTORUM QUINTUS

1 Commensurabiles magnitudines sunt; quas una communis magnitudo metitur. Incommensurabiles vero, quas nulla communis mensura numerat. Unde¹ omnes duo numeri sunt invicem commensurabiles quoniam mensurantur ab unitate.

2 Ratio est magnitudinum duarum eiusdem generis² collatio.

Similes, eaedem³ vel aequales rationes dicuntur⁴, quae vel sunt eiusdem nominis, vel ad quamlibet, nominatam rationem collatae semper sunt ea vel⁵ simul maiores vel simul minores. Omnes⁶ autem duo numeri nominatam habent rationem.

3 Proportio est rationum similitudo, identitas vel aequalitas.

Eandem rationem habentes magnitudines prima ad secundam et tertia ad quartam, proportionales dicuntur.

4 Si prima ad secundam magnitudinem rationem habeat, quam secunda ad⁷ tertiam et quam tertia ad quartam et deinceps similiter; continue proportionales magnitudines dicuntur. Et tunc prima ad tertiam duplicatam rationem habere dicetur eius, quam prima ad secundam. Sed prima ad quartam triplicatam eius, quam prima ad secundam. Et deinceps.

Communes animi conceptiones

5 Aequales magnitudines ad tertiam quamlibet collocatae eandem habent rationem. Contra si eandem habeant rationem ad tertiam, sunt aequales.

Quaelibet magnitudo ad duas aequales collata eandem habet rationem. Contra si eandem illae sunt aequales.

6 Binae magnitudines binis magnitudinibus singulae singulis aequales⁸ sunt proportionales.

Inaequalium magnitudinum maior ad tertiam maiorem habet rationem. Et si maiorem; maior erit.

7 Quaelibet magnitudo ad duas inaequales magnitudines collata maiorem rationem habet ad minorem. Et si maiorem, illa ex duabus minor erit. [A:12v] Rationes duae, quae tertiam adaequant rationem sunt invicem aequales.

8 Rationes aequales rationibus aequalibus continuatae componunt rationes aequales. Ab aequalibus ablatae, relinquunt aequales. Rationes⁹ aequalium rationum aeque multiplices sunt aequales. Et e converso.

9 Inaequales vero aequalibus continuatae¹⁰, componunt inaequales, et ablatae relinquunt inaequales. Aequales¹¹ rationes ad tertiam collatae sunt vel illi simul aequales vel simul maiores vel simul minores.

Propositiones

p^a

10 Magnitudines commensurabiles sunt proportionales numeris. Sunto duae magnitudines a, b commensurabiles et earum communis mensura c quae metiatur ipsam a secundum numerum d ipsam vero b¹² secundum numerum e. Atque ita quoniam a habet¹³ tot partes quot unitates habet numerus d. Et b tot partes, quot unitates habet numerus e erit sicut ac sic dunitatem. 11 Et sicut cb sic unitase. Ergo per 7^am conceptionem, erit ab sicut de quod est propositum ***¹⁴ ratio.

2^a

12 Magnitudinum commensurabilium ratio nominata est. Quoniam scilicet¹⁵, per praecedentem, est ratio notorum numerorum: et ab ipsis nominatur.

3^a

13 Omnis magnitudinum ratio aut nominata est, aut nominatis interiacet¹⁶ rationibus. Nam si magnitudines sint commensurabiles, tunc, per praemissam, ratio nominata est. Ut abbc. Si autem incommensurabiles: tunc d metiatur ipsam ab. 14 Et eadem d metiatur ipsam be minorem quam bc et ipsam bf maiorem, atque ratio abbc minor erit, quam ratio abbe nominata: et maior; quam ratio abbf nominata (per 5^am conceptionem)¹⁷ [A:13r] interiacens scilicet ipsis

4^a

15 Magnitudines proportionales numeris sunt commensurabiles.

Sit magnitudo amagnitudinem b sicut numerus dnumerum e. Dividatur a in tot partes, quot unitates sunt in numero d quarum partium una sit c. Eritque unitas d sicut ca. 16 Estque per hypothesim sicut d¹⁸e sicut ab. Ergo per 7^am conceptionem unitase sicut cb. Sed unitas metitur numerum e. Ergo c magnitudo metitur magnitudinem b. Sed c metiebatur ipsam a. Ergo a, b commensurabiles.

5^a

17 Si ratio magnitudinum sit nominata; magnitudines sunt commensurabiles. Nominatur enim ratio a numeris, quibus magnitudines sunt proportionales per p^am19 et ideo per praecedentem, ipsae magnitudines sunt commensurabiles.

6^a

18 Magnitudines incommensurabiles non sunt sicut numerus ad numerum. Nam si sunt sicut numerus ad numerum, per²⁰ antepraemissam, sunt commensurabiles quod est contra hypothesim astruitur ergo propositum.

7^a

19 Magnitudines quae non sunt sicut numerus ad numerum sunt incommensurabiles. Nam si commensurabiles: tunc per p^am horum, erunt sicut numerus ad numerum, quod est contra hypothesim astruitur ergo propositum.

8^a

20 Si partes fuerint proportionales partibus in eiusdem nominis ratione. Et totum toti erit in eadem ratione. Quia quoties communes mensurae metiuntur²¹ singulas partes; toties aggregatum mensurarum metitur aggregata partium. Et perinde aggregata partium dividentur in numeros²² earum portionum, in quos dividuntur partes. Et ideo erunt in [A:13v] eiusdem nominis ratione.

9^a

21 Si partes partibus sunt proportionales: erit sicut pars ad partem; sic totum ad totum. Sit sicut abde sic bcef. Dico quod erit, sic acdf. Nam si rationes sint nominatae, constat propositum per praemissam. Secus autem²³ tales proportiones, per 3^am, interiacebunt nominatis rationibus. 22 Sit itaque ratio: abde minor, quam abeg nominata: eritque per diffinitionem similium rationum, ratio bcef minor quam ratio bceh nominata eiusdem nominis. Verum per praemissam, ratio totius actotam gh est sicut abeg vel bceh in eiusdem nominis rationem. 23 Minor²⁴ autem est acdf quam acgh. Ergo et minor est acdf quam abeg et quam bceh. Et similiter ostendam, quod quacumque ratione nominata minor est ratio abde vel bcef hac ipsa minor erit ratio acdf. Et quacumque maior; maior. Quare per conversionem diffinitionis similium rationum, erit sicut abde vel bcef sic acdf quod fuit demonstrandum.

10^a

24 Si totum ad totum fuerit sicut ablatum ad ablatum erit residuum ad residuum sicut totum ad totum. Sit acdf sicut abde. Dico iam quod erit bcef sicut acdf. Nam secus sit bceg²⁵ sicut acdf et ideo sicut abde eritque per praecedentem, sicut acdg sic abde et sicut bceg // fuit autem per²⁶ hypothesim sicut abde sic acdf. 25 Igitur per 6^am conceptionem, sicut acdf sic acdg quare per 2^am conceptionem df et dg aequales, pars et totum quod est impossibile.

[A:14r]

11^a

Magnitudines proportionales sunt et permutatim proportionales. 26 Sit ab sicut cd. Erit sicut ac sic bd. Namque ratio ac componitur ex rationibus ab et bc et ratio bd ex rationibus bc et cd. Ergo per 7^am conceptionem sicut ac sic bd quod est propositum.

12^a

Magnitudines proportionales sunt et coniunctim proportionales. 27 Sit abbc sicut deef. Erit sicut accb sic dffe. Nam per praecedentem, erit permutatim, sicut abde sic bcef. Igitur per 9^am erit acdf sic bcef. Et rursus permutatim, sicut accb sic dffe: quod est propositum.

13^a

28 Magnitudines proportionales sunt quoque disiunctim proportionales. Sit accb sicut dffe. Erit sicut abbc sic deef. Nam secus sit sicut abbc sic geef. Eritque per praecedentem, coniunctim sic aceb sic gffe. Sed per hypothesim sicut accb sic dffe. Igitur per 6^am conceptionem sicut dffe sic gffe. Quare per p^am conceptionem df, fg aequales, quod est impossibile.

14^a

29 Magnitudines proportionales sunt quoque eversim proportionales. Ut si sit accb sicut dffe. Erit sicut acab sic df de. Quia tunc, per 11^am erit sicut acdf sic cbfe. Et ideo, per 10^am sicut acdf sic ab de. Et rursum per 11^am sicut acab sic df de.

[A:14v]

15^a

30 Magnitudines proportionales sunt et conversim proportionales. De rationibus nominatis, propositio manifesta est, quia per 5^am, tales magnitudines sunt commensurabiles et ideo, per p^am, sicut numerus ad numerum. Et numeri conversim servant idem nomen²⁷. 31 Et ideo magnitudines conversim habent eiusdem nominis rationem, et per diffinitionem sunt proportionales. / Quando autem rationes non sunt nominatae, sit sicut abbc sic deef tunc dico quod cbba erit sicut feed. Sit enim ratio abbg nominata, sicut deeh nominata. Eritque per diffinitionem similium rationum, ratio abbc minor, quam ratio abbg. Et ratio dffe minor, quam ratio deeh. 32 Sed conversim bgba sicut ehed quia nominatae et de nominatis ostensum est maiorque ratio bcba quam ratio bgga nominata. Et maior ratio²⁸ efed quam ratio ehed eiusdem nominis. Et similiter quacumque nominata ratione maior erit ratio cbba hac eadem maior ostendetur ratio efde. 33 Et quacumque minor: minor. Igitur per conversionem diffinitionis similium rationum, erit conversim cbba sicut efde quod est propositum.

16^a

Si fuerit ratio primae magnitudinis ad secundam, sicut ratio tertiae ad quartam. Ratio autem quintae ad secundam sicut ratio sextae ad quartam: ratio aggregatae ex prima et quinta ad secundam erit sicut ratio sextae et tertiae ad quartam. 34 Hoc est sit abc sicut def. Item sit bgc sicut ehf. Tunc dico quod totum agc erit sicut totum dhf. Nam per praecedentem erit conversim cbg sicut feh. Igitur per 7^am conceptionem erit abbg sicut deeh. [A:15r] Et coniunctim per 12^am erit aggb sicut dhhe. Rursus ergo per dictam conceptionem fiet sicut agc sicut dhf. Quod erat demonstrandum.

6 februarii