Elementorum XI et XII. Solidorum primus et secundus

8 giugno 2006

• 1  Presentazione dell'opera
• 2  Tradizione e novità
• 3  Contestualizzazione dell'opera
• 4  Fortuna
• 5  Testimoni
• 6  Criteri di edizione
• 7  Fonti

1  Presentazione dell'opera

Nel dicembre 1563, Maurolico scrisse un breve trattato intitolato De proportione communium solidorum -- tràdito dal codice San Pantaleo 115 (cfr. § 5) -- che contiene i risultati stereometrici fondamentali dei libri XI e XII degli Elementa di Euclide. Nelle 32 proposizioni del trattato, Maurolico dimostra infatti che, dati due solidi della stessa specie (parallelepipedi, prismi, piramidi, cilindri e coni), allora

• se hanno la stessa altezza, i due solidi stanno fra loro come le basi;

• il loro rapporto è pari al rapporto composto delle rispettive basi ed altezze;

• se sono simili, il loro rapporto equivale al rapporto triplicato dei lati omologhi (o dei diametri, nel caso di cilindri, coni e sfere).

Quattro anni dopo, Maurolico decise di utilizzare il De proportione communium solidorum come compendio dei libri XI e XII degli Elementa, inserendo a tale scopo una pagina iniziale con una selezione delle definizioni euclidee premesse al libro XI (cfr. § 3). Dal 1567 in poi, Maurolico considerò sempre questo scritto, che rimase peraltro inedito, come il compendio dei libri XI e XII ed è in questa veste che ne presentiamo l'edizione.

2  Tradizione e novità

I libri XI e XII sono i primi due libri degli Elementa dedicati alla stereometria e si occupano della cubatura di parallelepipedi, prismi, piramidi e coni. La strategia seguita da Euclide è quella di studiare inizialmente la cubatura di un parallelepipedo rettangolo, riducendo successivamente la cubatura di un parallelepipedo qualsiasi a quella di un parallelepipedo rettangolo, la cubatura di un prisma a base triangolare a quella di un parallelepipedo e, infine, la cubatura di una piramide (prima triangolare e poi a base poligonale) a quella di un prisma ed estendendo opportunamente questo risultato a coni e cilindri¹.

La tradizione di questi due libri è molto complessa ed effettivamente le redazioni di Campano e di Zamberti -- che appartengono rispettivamente alla tradizione arabo-latina e a quella greca e costituiscono i principali riferimenti di Maurolico -- presentano significative differenze, pur mantenendo inalterata l'architettura logica sopra delineata². In particolare, la redazione di Campano del libro XII, pur mancando di qualche porisma e di una proposizione³, presenta numerose additiones in cui si estendono i teoremi stereometrici, brevemente illustrati in § 1, a piramidi e prismi a base poligonale.

Il compendio mauroliciano presenta diverse peculiarità, in parte imputabili al fatto di essere stato concepito in origine come trattato sulla cubatura dei ``solidi communes''. È presumibilmente questo il motivo per cui, nel 1563, Maurolico inizia il proprio trattato direttamente con lo studio del parallelepipedo, ignorando sia le definizioni premesse al libro XI, sia le proposizioni XI.1-23, dedicate alle relazioni che si possono stabilire fra punti, rette e piani (incidenza, perpendicolarità, parallelismo, complanarità). Nella carta 35v, che viene aggiunta al De proportione communium solidorum qualche tempo dopo, Maurolico colma molto parzialmente questa lacuna, accogliendo le definizioni 1, 3, 8, 9, 14, 11 (aliter), 24--28 ed inserendo l'enunciato, peraltro assai sintetico, delle proposizioni XI.2, XI.3 e XI.21<sup>4</sup>. È bene sottolineare che l'autore fornisce definizioni di parallellepipedo, piramide e prisma, ovvero dei solidi attorno ai quali ruota l'intera trattazione, poco rigorose quando non ambigue<sup>5</sup>. Maurolico, inoltre, non accoglie le definizioni ``cinematiche'' di sfera, cilindro e cono ma, nel caso della sfera, affianca a quella euclidea la definizione data da Teodosio negli Sphaerica, mentre nel caso di cono e cilindro fornisce una definizione di carattere intuitivo⁶ che si discosta sia da quelle euclidee, sia da quelle presenti nei Conica di Apollonio e nei Cylindrica di Sereno, opere alle quali peraltro rimanda⁷.

Sebbene presenti solo 32 proposizioni, a fronte delle 58 dell'edizione di Zamberti, la struttura deduttiva del compendio mauroliciano ricalca quella degli Elementa, ad eccezione delle prime sei proposizioni relative alla cubatura del parallelepipedo, quando l'autore passa dalla proposizione 1 (corrispondente alla XI.25) alla 6 (corrispondente alla XI.32 e alla sua inversa, non attestata negli Elementa) attraverso un percorso logico originale ed estende i risultati ottenuti anche ai prismi a base poligonale (propp. 7-9), seguendo in questo la recensio di Campano⁸. Come spesso succede, anche in questo caso Maurolico non ha remore a modificare l'architettura di un'opera classica qualora ritenga di migliorarne la comprensione, nemmeno se si tratta di una pietra miliare come gli Elementa. E dunque non esita a spostare la proposizione XII.2, ponendola immediatamente prima della XII.11⁹. In termini strettamente deduttivi, lo slittamento è perfettamente legittimo, dato che la proposizione XII.2 è effettivamente un lemma propedeutico alla proposizione XII.11 e deve, forse, la propria anomala collocazione a motivi di ordine didattico¹⁰.

Al di là di questi elementi di indubbia originalità, nel compendio dei libri XI e XII ex traditione Maurolyci si trova ancora una volta applicato quel principio di rifusione critica delle tradizioni esistenti -- nella fattispecie rappresentate da Campano e da Zamberti -- che il matematico messinese aveva enunciato già nel 1532¹¹. Maurolico, dunque, da una parte inserisce molte delle Campani additiones, come abbiamo accennato poco sopra, e dall'altra accoglie alcune definizioni e proposizioni presenti solo nell'edizione di Zamberti di cui adotta, in massima parte, la terminologia¹².

Inoltre, quando cita proposizioni euclidee relative ai primi dieci libri, Maurolico si riferisce alla recensio di Campano, come provano i riferimenti alle proposizioni V.13 e VI.18, che sono indicate come V.12 e VI.20 negli Elementa di Zamberti.

Per concludere, bisogna sottolineare che la vera novità di questo scritto è data dalla dimostrazione di carattere aritmetico della cubatura della piramide e del cono, che Maurolico presenta come alternativa a quella euclidea¹³. Non ci dilunghiamo nell'analisi della dimostrazione, per la quale si rimanda a Gavagna 2006, ma ci limitiamo a sottolineare come il tentativo di utilizzare risultati puramente aritmetici in ambito geometrico, già messo in atto nel De spiralibus di Archimede¹⁴, trovò in seguito un'importante applicazione nella determinazione del centro di gravità del paraboloide di rivoluzione nel De centro solidi parabolae demonstratio acutissima del 1565¹⁵.

3  Contestualizzazione dell'opera

Nella seconda metà degli anni Sessanta, Maurolico iniziò a sviluppare un progetto di enciclopedia del sapere per compendi, i quali avrebbero dovuto essere poi impiegati nella didattica dei Collegi gesuitici. Fra i primi compendi che l'ormai anziano matematico messinese si accinse a comporre, si annoverano quelli relativi agli Elementa di Euclide¹⁶. Fra il 28 gennaio e l'11 marzo 1567, Maurolico redasse il compendio dei primi dieci libri, tràditi dal codice Lat. 7463 conservato presso la Bibliothèque Nationale de France. In calce al compendio del libro X scrisse: ``His 10 Elementorum libris adnectere decrevimus quinque solidorum libros, undecimum scilicet et 12^um de communibus solidis sobrie traditos, quo ad proportionem et similitudinem. Tres autem reliquos de quinque regularibus figuris cum aliquot consyderationibus ...'' (c. 43r) Queste parole inducono a supporre che il De proportione communium solidorum, redatto nel dicembre 1563, si prestasse assai bene a divenire, con qualche piccolo accorgimento, il compendio dei libri XI e XII. L'ipotesi viene confermata da quanto scrisse Maurolico nella copertina del codice San Pantaleo 115, che contiene il trattato in questione:

Elementorum undecimus et duodecimus brevissime demonstrati. Sic habemus in compendium 15 Euclidis libros. Decem scilicet in alio volumine [...] 11^us autem et 12^us habentur in praesentis libelli calce, ut dictum est, cum nova demonstratione pyramidis. 13^us 14^us et 15^us de solidis regularibus in alio libello propositionibus additis ad Petrae dominum olim dedicato [...]

Per trasformare il De proportione communium solidorum nel compendio dei libri XI e XII, Maurolico aggiunse una pagina iniziale, intitolata Elementorum XI^us. Solidorum primus che contiene alcune delle definizioni euclidee premesse al libro XI¹⁷, comprese quelle relative ai poliedri regolari. Dato che nel De proportione communium solidorum non si trattano i solidi regolari, questa scelta ribadisce evidentemente la volontà dell'autore di riunire a questo trattatello la vecchia edizione ``de solidis regularibus in alio libello'' per ottenere il compendio di tutti i libri stereometrici degli Elementa¹⁸. Per completare la trasformazione del trattato originario, nel margine superiore della carta 37v Maurolico aggiunse il titolo Elementorum XII^us. Solidorum secundus, senza tuttavia rinumerare le proposizioni, probabilmente per non dover correggere tutti i riferimenti interni contenuti nelle dimostrazioni.

Resta da chiarire quale fosse lo scopo iniziale con cui questo trattato fu scritto. La contiguità temporale e l'affinità delle tecniche impiegate (cfr. § 2), induce ad accostare il De proportione communium solidorum del 1563 al De centro solidi parabolae demonstratio acutissima, redatto nel maggio 1565. È dunque possibile che Maurolico, lavorando in quegli anni alla determinazione del centro di gravità dei solidi, decidesse di redigere un'esposizione organica ed essenziale sui ``solidi communes'', non potendo contare né sulle edizioni degli Elementa in circolazione e neppure su suoi scritti geometrici precedenti¹⁹.

4  Fortuna

Trattandosi di uno scritto inedito, non è ancora documentata alcuna influenza sulla trattatistica matematica successiva.

5  Testimoni

• ms: Roma, Biblioteca Nazionale Centrale ``Vittorio Emanuele'', San Pantaleo 115, cc. 35v - 40v (siglum A19)

6  Criteri di edizione

Per quanto il De proportione communium solidorum sia nato come scritto in certa misura indipendente dagli Elementa, le modifiche apportate in seguito da Maurolico e la sua esplicita volontà ne fanno a tutti gli effetti il compendio dei libri XI e XII ed è per questo che si trova nella sezione del volume Euclides et geometrica quaedam intitolata Elementorum compendia.

I criteri seguiti nella realizzazione dell'edizione sono quelli comuni a tutta l'edizione del corpus mauroliciano.

Esistono tuttavia alcune peculiari situazioni, che hanno richiesto un intervento specifico. In taluni casi, nell'autografo, le lettere che indicano i solidi sono maiuscole nel disegno e minuscole nel testo della dimostrazione ad esso relativa. Abbiamo optato per mantenere ovunque il carattere minuscolo, riservandoci di uniformarlo anche alle lettere dei disegni non appena questi sostituiranno le immagini del manoscritto.

In due casi, l'autografo presenta uno stesso disegno riferito a due proposizioni differenti: in particolare, la figura riprodotta nella parte inferiore della carta 36r è riferita alle proposizioni 3 e 4, mentre la figura di carta 39v è riferita alle proposizioni 23 e 24. In questi casi abbiamo deciso di riprodurre il disegno accanto al testo di ogni dimostrazione a cui è riferito. All'opposto, abbiamo deciso di non riprodurre la prima figura di carta 39r, perché si tratta di semplice copia della figura posta in calce a carta 38v e sono entrambe riferite alla proposizione 18. Infine, la figura posta a c. 36v, che accompagna la proposizione 6, è riferibile solo alla prima parte della dimostrazione. La seconda parte, per mantenere un corretto significato matematico, deve essere necessariamente corredata di una nuova figura, che verrà introdotta in futuro secondo un progressivo avanzamento del livello di edizione.

7  Fonti

• Camp. Elem. = Preclarissimus liber elementorum Euclidis perspicacissimi in artem Geometriae incipit quam foelicissime ... Campani commentationes, Venetiis, Erhardus Ratdolt Augustensis impressor solertissimus, 1482.

• Maur. Ari. = D. Francisci Maurolyci ... Arithmeticorum libri duo, Venetiis, apud Franciscum Francisci Senensem, 1575.

• Maur. Con. = Francisci Maurolyci messanensis, emendatio et restitutio conicorum Apollonii Pergaei, Messina, 1654.

• Maur. Cyl. = Sereni cylindricorum libelli duo, ms. Lat. 7465 della Bibliothèque Nationale de France

• Maur. Spir. = De lineis spiralibus, in Admirandi Archimedis Syracusani monumenta omnia mathematica ... ex traditione doctissimi viri D. Francisci Maurolyci, Panormi 1685.

• Theod. Sphaer. = Theodosii sphaericorum elementorum libri III ex traditione Maurolyci messanensis mathematici, Messanae, impressit Petrus Spira, 1558.

• Zamb. Elem. = Euclidis megarensis ...  Elementorum libros xiii cum expositione Theonis ...  Deputatum scilicet Euclidi volumen xiiii cum expositione Hypsi. Alex. ...  Ba. Zamber. Vene. Interprete, edibus Ioannis Tacuini, 1505.

¹  Per un'analisi dei libri XI e XII, si veda il volume IV dell'edizione degli Éléments curata da B. Vitrac [Euclide 1990-2001].

²  In merito ai problemi testuali che gravano sui libri XI e XII, si rimanda al commento di B. Vitrac in Euclide 1990-2001, vol. IV, pp. 32-71, mentre per un'analisi dei rapporti degli Elementa ``ex traditione Maurolyci'' con la recensio di Campano da Novara (Venezia, 1482) e con l'edizione di Bartolomeo Zamberti (Venezia, 1505), si veda l'Introduzione del volume Euclides et geometrica quaedam e Gavagna 2006.

³  Riferendoci all'edizione critica degli Elementa curata da J.L. Heiberg, nella recensio di Campano pubblicata nel 1482 mancano i porismi alle proposizioni XI.33, XI.34, XII.7, XII.8 e la proposizione XII.14.

⁴  In realtà la definizione 8 deriva dalla fusione dell'aliter della definizione XI.11 con la proposizione XI.21 (``Angulus solidus sub tribus vel pluribus planis angulis continetur, quos necesse est quattuor rectis esse minores'').

⁵  Si consideri, ad esempio la definizione 3 di parallelepipedo, assente negli Elementa: ``Parallelepipeda solida sunt, quorum oppositae bases invicem parallelae sunt''. La definizione originale, modellata sulla definizione di prisma presente nell'edizione di Zamberti, non specifica né che le basi opposte debbano essere uguali e parallele, né che le facce rimanenti debbano essere dei parallelogrammi e quindi non solo non individua un parallelepipedo, ma nemmeno un prisma. Nel Sermo de quantitate (1554), Maurolico aveva fornito una definizione un po' diversa (``parallelepipedum, quod facies oppositas aequidistantes habes quadrilateras''), ma altrettanto insoddisfacente, dato che si mantengono le ambiguità evidenziate sopra. Analoghi problemi si pongono con le ``definizioni'' di prisma, piramide e poliedro (deff. 5, 6):``Similia solida sunt, quae similibus numeroque aequalibus basibus continentur. Horum species sunt pyramides, columnae, prismata, atque polyhedrae figurae''.

⁶  ``Conus est pyramis super basim circularem. Et cylindrus es columna bases habens circulos'' (def. 10).

⁷  Va precisato, inoltre, che Maurolico abbozza una classificazione di coni e cilindri in retti e scaleni che lo costringe a modificare la definizione euclidea di similitudine (def. XI.24, corrispondente in parte alla def. 12 ``ex traditione Maurolyci'') e la fa precedere da una definizione di solidi simili e similmente posti -- non attestata negli Elementa -- che non viene apparentemente mai usata nel trattato, ma della cui necessità Maurolico discute in un frammento del 1541 dedicato alla proposizione XI.27 (cfr. la sezione Demonstrationes quorundam locorum XI).

⁸  Anche le proposizioni 21 e 22, che estendono sostanzialmente i teoremi stereometrici alle piramidi a base poligonale, sono riconducibili alle additiones alla XII.6 ex traditione Campani.

⁹  Nel compendio mauroliciano, le proposizioni XII.2 e XII.11 corrispondono rispettivamente alle proposizioni 23 (due cerchi stanno fra loro come i quadrati dei rispettivi diametri) e 24 (un cono e un cilindro aventi la stessa altezza sono proporzionali alle rispettive basi).

¹⁰  Questa è una congettura suggerita da B. Vitrac in [Euclide 1990-2001, vol. IV, pp. 237-238].

¹¹  Si veda la dedicatoria, indirizzata a Girolamo Barresi, dell'edizione dei libri XIII-XV. Sul progetto di un'edizione degli Elementa basata sulla rifusione critica delle redazioni di Campano e di Zamberti, parzialmente sviluppato fra gli anni Trenta e Quaranta, si veda Gavagna 2006.

¹²  Ci riferiamo alla definizione 9, relativa ai poliedri regolari, che corrisponde alle definizioni 25-28 dell'edizione di Zamberti (con in più quella di tetraedro) e alle proposizioni 20 (``Omne prisma triplum est suae pyramidis'') e 26 (``Cylindri sive coni super eandem basim sunt celsitudinibus proportionales'') che corrispondono al porisma della XII.7 ed alla XII.14. Per quello che riguarda il lessico, Maurolico preferisce i termini ``conus, cylindrus'' adottati da Zamberti ai corrispondenti ``pyramis rotunda e columna rotunda'' di Campano. Con il termine ``prisma'', che in Zamberti assume l'accezione moderna, Maurolico intende invece il prisma triangolare (``corpus serratile'' in Campano), mentre indica con ``columna laterata'', conformemente a Campano, il prisma a base poligonale.

¹³  I lemmi e le proposizioni 12--14 presentano la cubatura ``aritmetica'' della piramide, le proposizioni 15--22 quella euclidea.

¹⁴  Scrive infatti Maurolico, a conclusione della cubatura ``aritmetica'' della piramide: ``Hoc processu, his lemmatis utitur Archimedes in demonstranda proportione spiralium spaciorum'' (c. 38r). La proposizione chiamata in causa è la I.27 del De lineis spiralibus ex traditione Maurolyci (redatto nel 1549), dove, diversamente dal testo archimedeo, l'autore utilizza i numeri esagonali equilateri per arrivare al risultato, come viene spiegato in Passalacqua 2002.

¹⁵  Sul De centro solidi parabolae demonstratio acutissima e i suoi rapporti con il quarto libro del De momentis aequalibus, dedicato alla determinazione dei centri di gravità dei solidi, si veda il lavoro di Napolitani Sutto 2001, mentre un'analisi critica del De momentis aequalibus si trova in Tucci 2004.

¹⁶  Per un quadro complessivo, si rimanda all'Introduzione del volume Euclides et geometrica quaedam.

¹⁷  Si tratta della carta 35v del codice San Pantaleo 115, il cui contenuto è già stato discusso in § 2. L'inchiostro è diverso da quello usato per la redazione del De proportione communium solidorum. Inoltre, in calce alla carta si legge la data 11 marzo 156[.]: l'ultima cifra, nella legatura interna, non è più leggibile, ma è ragionevole supporre che si tratti dell'11 marzo 1567, giorno in cui Maurolico terminava la stesura del compendio del libro X degli Elementa e decideva di utilizzare il De proportione communium solidorum come compendio dei primi libri stereometrici.

¹⁸  Dalla redazione dell'Index lucubrationum del 1568 in poi, infatti, Maurolico cominciò ad includere fra i Propria la Elementorum Euclidis Epitome, enfatizzando le novità introdotte nel libro V, nei libri aritmetici in quelli relativi ai solidi.

¹⁹  Fra il materiale che ci è pervenuto, esistono infatti alcuni frammenti che trattano del volume dei solidi e precisamente le carte 5v-6v, 16v-18v del codice San Pantaleo 115 (si vedano le introduzioni alle sezioni Demonstrationes quorundam locorum XI e Demonstrationes quorundam locorum XII) e le carte 1r-3r del codice parigino Lat. 7464 (Demonstrationes ad proportionem triangulorum et quorundam solidorum pertinentes). Per il resto, solo i Data (1554) e le Quaestiones geometricae (1555) trattano della cubatura di parallelepipedi, piramidi, cilindri e coni, ma in maniera frammentaria ed occasionale. In particolare, ci riferiamo alle proposizioni II.24, II.26 ed al corollario della II.25 dei Data e ai capitoli Circa solida, Circa perpendicularem pyramidis, Circa pyramidis corpulentiam del secondo libro delle Quaestiones geometricae. Alcune delle definizioni che sono poste all'inizio del libro XI si trovano anche nel De quantitate sermo noster (1554) cc. 14v-16v, mentre un breve sunto dei risultati principali dei libri stereometrici degli Elementa si trova nel capitolo Euclidis solida del Compendium mathematicae (c. 69v) pubblicato negli Sphaerica del 1558.

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