|
Édition Pier Daniele Napolitani Jean-Pierre Sutto
Introduction
1 Présentation de l'oeuvreL'édition présentée ici est un texte de six folios relatif au centre de gravité du paraboloïde de révolution. Il est divisé en 13 propositions et comprend 9 figures. Ces folios n'ont pas de titre. On trouve néanmoins sur la couverture en parchemin du manuscrit, un sommaire de son contenu indiquant pour cette partie: De centro solidi parabolae demonstratio acutissima, cum collatione aliorum centrorum. La deuxième partie de ce titre fait référence à des notes relatives aux positions des centres de gravité de différentes figures géométriques que l'on trouve dans les folios suivant ce texte. La première partie fait donc référence au texte que nous présentons ici et nous l'avons donc intitulé De centro solidi parabolae demonstratio acutissima. Le texte est daté au folio 13r: 5 mai 1565. Il s'agit d'une longue démonstration de la position du centre de gravité du paraboloïde de révolution: le centre de gravité est situé au tiers de l'axe du côté de la base. L'idée directrice de la démonstration est d'exploiter la similitude des situations entre le triangle et le paraboloïde de révolution. Si l'on divise leur axe naturel en parties égales et que l'on construit selon cette division une suite de rectangles inscrite dans le triangle et une suite de cylindres inscrite dans le paraboloïde, les rapports entre la « figure en escalier » --- « scalaris figura » --- et les « parties restantes » --- « relictae portiones », c'est-à-dire la différence entre l'aire du triangle ou le volume du segment de paraboloïde et la figure en escalier inscrite --- sont identiques. On peut dégager trois caractéristiques principales de cette démonstration:
Le texte commence par quelques axiomes et résultats préliminaires sans démonstration: centre de gravité d'un grave uniforme --- proposition 1 ---, centre du triangle --- 2 ---, position du centre de deux systèmes sur la droite qui joint les centres des systèmes --- 3 ---, loi du levier --- 4 ---, position interne du centre de gravité d'un grave [convexe] --- 5. Maurolico se contente de faire référence au « Libellus aequalium momentorum » pour les justifications, c'est-à-dire à sa propre version de l'Équilibre des figures planes, le De momentis aequalibus. La proposition 6 concerne les centres de gravité dans le triangle plan. Si l'on divise l'axe en parties égales et que l'on construit une figure en escalier inscrite constituée de rectangles, le centre de gravité des rectangles est situé au dessous du centre de gravité du triangle d'un sixième de la hauteur d'un rectangle, et le centre des parties restantes, les triangles qui ajoutés au rectangles donnent l'aire totale du triangle, est situé au dessus du centre de gravité que l'on vient de déterminer d'un sixième de la hauteur totale. Cinq corollaires suivent pour exprimer les rapports et progressions entre les différentes parties du triangle dans lequel on a construit une suite inscrite de rectangles de même hauteur. Le quatrième corollaire montre que les rectangles inscrits suivent une progression selon l'ordre des entiers, et le cinquième que les parties restantes sont toutes égales. Les propositions 7, 8 et 9 sont relatives aux volumes des segments de paraboloïde de révolution. Il n'y a pas de démonstration, Maurolico se contentant de citer son édition des Conoïdes et sphéroïdes. La proposition 7 énonce que le rapport du volume du paraboloïde de révolution au cône qu'on y inscrit est dans le rapport 3:2. La proposition 8 que si l'on divise l'axe d'un paraboloïde en partie égales, les volumes des calottes sont proportionnels aux carrés de leur axe. Et la proposition 9 que ces mêmes calottes suivent une progression selon l'ordre des carrés. La proposition 10 montre que la similitude des situations entre le triangle et le paraboloïde de révolution est complète: la progression des cylindres qui composent la figure en escalier dans le paraboloïde suit elle aussi l'ordre des entiers. La démonstration fait appel à la propriété caractéristique de la parabole pour calculer les rapports qu'ont les cylindres entre eux. Deux corollaires permettent de montrer de plus que les parties restantes --- excès de la tranche solide au cylindre inscrit dans cette tranche --- sont toujours égales. La proposition 11 énonce qu'il est possible de construire une figure « en escalier » constituée de cylindres inscrits, de telle façon que le rapport de cette figure aux portions restantes soit plus grand que tout rapport donné. La proposition 12 énonce que si on coupe l'axe du paraboloïde en sections égales, le centre de gravité de la figure solide en escalier composée de cylindres sera au dessus du tiers inférieur de l'axe d'un sixième de la hauteur d'un cylindre. On retrouve exactement le résultat que l'on avait pour le triangle dans la proposition 6. Maurolico propose ensuite une conséquence logique de cette proposition dans un corollaire, semblable à la proposition 11 pour le triangle: la distance entre le centre des cylindres dans le paraboloïde et le point situé au tiers inférieur de l'axe peut être rendu aussi petite que l'on veut. Vient enfin l'objet principal de ce livret, la 13e et dernière proposition: le centre du paraboloïde est situé au tiers inférieur de son axe. Le texte cite à plusieurs reprises un libellus aequalium momentorum, c'est-à-dire le De momentis aequalibus de l'auteur, version personnelle de l'équilibre des figures planes d'Archimède. L'auteur expliquera d'ailleurs dans les folios qui suivent que ces pages concernant le centre de gravité du paraboloïde et celles concernant les positions relatives des centres de gravités de différents figures géométriques peuvent être considérées comme un cinquième livre du De momentis aequalibus. La démonstration de la position du centre de gravité du paraboloïde de révolution est en effet aussi faite par Maurolico dans son quatrième livre du De momentis aequalibus, propositions 19 à 23. Sur les liens entres les deux versions, voir l'article de Pier Daniele Napolitani et Jean-Pierre Sutto, "Francesco Maurolico et le centre de gravité du paraboloïde", SCIAMVS, 2, 2001, pages 187-250. 2 Tradition et innovationArchimède fait seulement mention dans Les corps flottants du résultat dans sa proposition 2 du deuxième livre, sans démonstration. Il ne semble pas qu'avant 1565 et les travaux de Maurolico et Commandino, ce résultat ait été démontré en occident. 3 Contextualisation de l'oeuvreLe texte a été écrit le 5 mai 1565. Maurolico a alors 71 ans. À ce moment, la question des centres de gravité retrouve un echo particulier dans les mathématiques. Le manuscrit dans lequel se trouve le texte ici édité contient d'autres travaux relatifs au centre de gravité du paraboloïde dont l'un est daté de 1569, et 1565 est aussi l'année de publication des travaux sur les centres de gravité de Commandino. Dans le cours de la proposition 6, on trouve la phrase suivante:
Ce texte est donc adressé à un lecteur ayant quelques connaissances mathématiques. On n'a pu encore trouvé qui pouvait être ce destinaire. Voir sur ces sujets l'article de P.D. Napolitani et J.-P. Sutto cité plus haut. 4 DestinOn ne connaît aucune référence à ce texte chez d'autres mathématiciens. Maurolico le cite dans les folios qui suivent dans le manuscrit. Le texte fut publié en 2001 par P.D. Napolitani et J.-P. Sutto dans l'article cité plus haut.
5 TémoinsManuscrit autographe: Paris, Bibliothèque Nationale, Lat. 7466, folios 8r-13r. 6 SourcesAucun auteur n'est cité dans le texte.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||