De dimensione circuli

2 oct. 2002 upd. 13 lugl. 2006

• 1  Le opere
• 2  Contestualizzazione delle opere
• 3  Testimoni
• 4  Criteri di edizione
• 5  Rapporti fra i testimoni

1  Le opere

In questa sezione, raccolti sotto il titolo De circuli quadratura, presentiamo l'edizione di tre testi mauroliciani dedicati alla misura del cerchio:

1. Archimedis de circuli dimensione libellus;

2. Hippocratis et Maurolycii tetragonismi;¹

3. Modus alius quadrandi circulum.

Descriviamo brevemente il contenuto dei tre testi (ciascuno di questi testi sarà esaminato nel dettaglio nell'introduzione alla sezione relativa).

L'Archimedis de circuli dimensione libellus è essenzialmente il rifacimento mauroliciano dell'opera archimedea su questo tema, pur con differenze di un certo rilievo.³

Il testo dal titolo Hippocratis et Maurolycii tetragonismi presenta tre differenti quadrature: la prima è la nota quadratura effettuata tramite lunule attribuita a Ippocrate; le altre due, comprese sotto il titolo comune di Maurolycii tetragonismus, sono invece probabilmente elaborazioni originali di Maurolico; la prima è di carattere esclusivamente geometrico, la seconda coinvolge anche considerazioni di statica e centrobarica.

L'ultimo testo, infine, è una quadratura di genere differente, di carattere pratico, ottenuta tramite il confronto volumetrico fra il liquido contenuto in un cilindro e quello in un cubo.

Va osservato che nella Praeparatio ad Archimedis opera, il testo che apre l'edizione a stampa delle opere archimedee nella versione mauroliciana ma che non trova corrispettivo nelle opere di Archimede,⁴ si trova un ampio gruppo di proposizioni su questo tema,⁵ che non abbiamo ritenuto di riportare in questa sezione; ci pare comunque il caso di segnalare questo caso, in quanto è fondamentale per comprendere appieno i lavori mauroliciani sull'argomento e testimonia dell'evoluzione delle ricerche in questo settore.

2  Contestualizzazione delle opere

Dal momento che queste opere trattano il medesimo argomento e che lo stesso Maurolico talvolta prende in esame la questione della quadratura del cerchio nel suo complesso, con considerazioni applicabili a tutti e tre i testi, ci è parso utile discutere gli aspetti relativi alla contestualizzazione delle tre opere tutti assieme in questo luogo, rimandando alle singole introduzioni per considerazioni strettamente legate ai singoli testi.

Dal punto di vista delle date di composizione abbiamo alcuni dati certi: l'Archimedis de circuli dimensione libellus è datato, nel suo colophon, 19 agosto 1534: ``Libelli de dimensione circuli finis. 19^o augusti 1534''.⁶ Anche l'opera Hippocratis et Maurolycii tetragonismi si chiude con l'indicazione della data di composizione; è ancora il 19 agosto dello stesso anno.⁷

Il De circuli dimensione libellus viene ricordato già nel primo testo composto da Maurolico al fine di illustrare i propri studi, la prefazione ai Grammaticorum libelli sex, usciti nel 1528:

Quidquid enim Syracusius Archimedes de circuli dimensione, de sphaera et cylindro, deque momentis aequalibus disseruit, ego quoque apertissime demonstravi: demonstravi inquam prius quam ipsius Archimedis opera vidissem.⁸

Nel passo troviamo un'affermazione molto strana: come si possono dimostrare le stesse cose di Archimede senza averne visto le opere? Proporremo una possibile spiegazione per questa apparente difficoltà nell'introduzione all'Archimedis de circuli dimensione libellus, quando prenderemo in esame le possibili fonti per il giovane Maurolico in questo campo.⁹

Successivamente, nel 1536, Maurolico accenna nuovamente al De dimensione circuli archimedeo in una lettera indirizzata al cardinale Pietro Bembo, dove---lamentandosi per la situazione in cui versano le matematiche---scrive:

Nam Theodosii et Menelai sphaerica, Apollonii conica, Archimedis opera de circuli dimensione [cors. nostro], de sphaera et cylindro, de isoperimetris, de momentis aequalibus, de quadratura parabolae, de speculis ignificis nusquam apparent, non secus ac si admisso inexpiabili perpetuum meruerint exilium. Et horum si quid circumfertur, tot tantisque scatet mendis, ut vix etiam ab authore ipso emendari possit.

Quattro anni più tardi, nel 1540, ancora in una lettera al cardinale Bembo, torna sull'argomento, ampliando le considerazioni in merito. Si tratta della lettera di dedica della Cosmographia mauroliciana, pubblicata a Venezia nel 1543 (la lettera di dedica è però datata 1540). In questa missiva Maurolico sottopone all'attenzione del cardinale un elenco delle proprie opere suddiviso per sezioni; nella prima sezione troviamo: ``Archimedis Syracusani de circulo dimensione libellus cum calculo nostro ad mensuram peripheriae propius accedente''.¹⁰

Ci pare che, a questo punto, i tre documenti riportati testimonino un'evoluzione dell'approccio mauroliciano al problema della misura del cerchio:

1. prima del 1528: vuole ricostruire semplicemente ciò che Archimede aveva fatto in base a ricerche e notizie da sparsim collecta;¹¹

2. attorno al 1528: entra in contatto con l'opera archimedea e ne produce una propria esposizione;

3. fino al 1534: approfondisce lo studio del testo, integrandolo e ampliandolo con il contributo personale.

Nella lettera a Simone Ventimiglia (2 marzo 1556) Maurolico espone la propria opinione riguardo al problema della quadratura del cerchio in generale, senza riferirsi esplicitamente ad opere da lui composte su questo tema:

De quadratura circuli sic. Opinemur enim, certisque adducimur coniecturis, eam rationem non esse ullis terminis numerariis terminabilem quemadmodum rectilineorum perimetri terminantur; et perinde circulum non nisi mechanice aut per momentorum experientiam quadrari posse; flexamque lineam sicut rectae nequaquam congruere, ita sub nullo cognito rationis termino communicare. Movit autem nos ad huiusmodi sermonem Orontii Phinei tractatus in quo, quibusdam sophisticis cavillationibus, circulum se falso quadrare gestit. Et cum in peripherio calculo pueriliter errat, errorem imputat Archimedi.¹³

Nella lettera al viceré Juan de Vega, che reca in calce la data 8 agosto 1556,¹⁴ si trova un passo di contenuto analogo al precedente, ma leggermente più ampio:

De circuli quadratura movit me ad scribendum Phineus. Nam, dum eius errores demonstratione atque calculo arguere sum exorsus, multa super ea re disserui. Et tandem certis coniecturis ac rationibus inductus hoc mihi persuasi, omnis rectilineae figurae circulo cuipiam inscriptae, sive extrinsecus adscriptae perimetrum, talem cum circuli diametro rationis colligantiam habere, ut si diameter ipsa rationalis supponatur, perimeter quoque figurae aut rationalis sit, aut sub aliquam speciem irrationalis lineae per numeros determinatae cadat. Circuli vero periferiam, sicut omnis figurae inscriptae perimetro maior est, circumscriptae vero minor, ita cum diametro nullum tale sortiri commercium: ac sicut tam inscriptorum, quam circumscriptorum laterum numerositatem singulari ambitu ac dexteritate praeterlapsa circumflectitur, ita nullius cum eis participare cognitae rationis terminos. Et perinde circumferentiae proportionem ad diametrum, unde tetragonismus dependet, inexplicabilem esse, quamquam aliquo modo sive mechanico artificio assignari potest, sicut ibi latius tradidimus. Deinde, Archimedis praeceptum secuti, multoque maioribus numeris usi (quod cuique licet) intra limites angustiores memoratam clausimus proportionem, semper enim inquirentes hanc magis ac magis vero appropinquare possumus, numquam tamen ipsum praecise consequi; quoniam scilicet inter numerarias proportiones non existit, sed inter incognitas et nullo pacto nominabiles. Tanta est inter rectam flexamque lineam, fortasse propter dissimilitudinem, inimicitia.¹⁵

Questi ultimi due brani sono interessanti per almeno tre ragioni: la prima è il riferimento ai lavori di Oronce Fine su questo tema;¹⁶ la seconda è costituita dalla conferma del tentativo di ottenere un calcolo ``piú preciso'' di p; la terza, infine, è l'idea che il rapporto fra circonferenza e diametro sia ``inexplicabilis'', e pertanto da indagare ``mechanico artificio''. Esaminiamo nel dettaglio questi ultimi due aspetti.

A conferma di un interesse di Maurolico per un calcolo più preciso del rapporto fra diametro e circonferenza, nel manoscritto Par. Lat. 7465 (contenente le prime due opere che qui si presentano), a carta 31r, al termine degli Hippocratis et Maurolycii tetragonismi, troviamo la frase ``Sequitur calculus periferiae'' cui segue, invece, una mezza pagina bianca.<sup>17</sup> In fondo alla stessa pagina, infine, la data di chiusura del testo Hippocratis et Maurolycii tetragonismi: ``19^o augusti 1534''. Si tratta, probabilmente, del luogo dove doveva essere collocato il ``calculum ad mensuram peripheriae propius accedentem'' ricordato nel 1540 e ``confermato'' nel 1556 con le parole: ``Archimedis praeceptum secuti, multoque maioribus numeris usi (quod cuique licet) intra limites angustiores memoratam clausimus proportionem''.¹⁸

Le seconda quadratura del Maurolycii tetragonismus, che coinvolge considerazioni di statica, e quella del Modus alius quadrandi circulum, di carattere empirico, traggono la loro origine dalla convinzione di Maurolico che il rapporto fra circonferenza e diametro fosse inexplicabilis e nullo pacto nominabilis e pertanto da determinarsi attraverso ``metodi meccanici'' o altri artifici. Si tratta, in pratica, dei tentativi di arrivare a una soluzione uscendo dai confini della geometria ``tradizionale''.

Il problema della quadratura del cerchio viene discusso da Maurolico anche in altre due opere del corpus: nel Sermo de quantitate e nel Sermo de proportione. I Sermones o Prologi sono opere di carattere programmatico in cui Maurolico illustra le proprie idee su questioni di carattere scientifico generale. In questo contesto la misura del cerchio è di fondamentale importanza per lo status particolare del rapporto fra diametro e circonferenza. A questo proposito giova ricordare che nell'elenco di Sermones, solo parzialmente giunti fino a noi, compariva anche un Sermo de quadratura circuli, oggi purtroppo da considerarsi perduto.¹⁹ Ma vediamo come Maurolico affronta la questione nel De quantitate:²⁰

De circuli atque sphaerae dimensione acutissime ratiocinatur Archimedes. Et quamvis sphaericam superficiem ad suum maximum circulum quadruplam esse demonstret, periferiae tamen ad diametrum non nisi prope verum determinat rationem, paulo scilicet tripla sesquiseptima minorem. Ego autem frustra super hoc laborasse et semper laboraturos mathematicos existimo; eamque rationem non solum inter rationales, sed ne inter cognitas quidem existere certis argumentis coniicio.

Nel De proportione a questo proposito afferma, parlando della ``ratio incognita'':²¹

Incognitam vero, quae nullo modo in numerum cognitarum cadit, et omnis cognominationis est expers. Unde cum cognita per essentialem differentiam diffiniatur, et numerata demonstretur; incognita non nisi per privationem diffiniri potest, ac sicut a numeris aliena, ita et indemonstrabilis est. Talis, ut ego existimo, est ratio periferiae ad diametrum

La quadratura del cerchio viene anche esaminata nel Compendium mathematicae dove troviamo una sezione dal titolo ``Archimedis de dimensione circuli'' sotto la quale compare il breve testo qui riportato:

Omnis circuli sive poligonii area aequalis est triangulo, cuius altitudo semidiametro, basis autem periferiae aequalis est. Circuli periferia ad diametrum minor est quam tripla sesqui septima, maior vero, quam tripla superpartiens decemseptuagesimas primas. Quadratum circulo contento superpartitur tres undecimas, et quod minus.

Notizie analoghe a quelle inserite nel Compendium sono anche nel breve testo (``Prooemium'') preposto alla Praeparatio ad Archimedis opera nella stampa 1685.

Nell'Index lucubrationum, il testo già ricordato che Maurolico componeva con lo scopo di illustrare le proprie opere (o le proprie redazioni di opere della matematica antica da lui ``recuperate''), la quadratura del cerchio compare solo nella sezione Aliena, sezione che comprende le opere non originali in redazione mauroliciana, all'interno delle Archimedis opera. Nell'Index lucubrationum compare inoltre il Sermo de quadratura circuli, come poco sopra precisato. Abbiamo notizie sugli scritti di Maurolico anche dopo la sua morte. In particolare, i manoscritti entrarono in possesso dei nipoti del matematico, suoi eredi; abbiamo un elenco dei manoscritti posseduti verso la metà del XVII secolo dagli eredi di uno dei nipoti, Silvestro Maurolico. In questo elenco (pubblicato in Moscheo 1988, pp. 417-8) compaiono sotto la voce ``Libri dell'Abbate Don Francesco Marolì da stamparsi'' il De circuli dimensione Archimedis libellus e il Maurolyci Tetragonismus.

Possiamo quindi, dopo questo breve riassunto delle informazioni disponibili nell'opera mauroliciana sul problema della quadratura del cerchio, tratteggiare la parabola compositiva di questi testi. In un primo tempo, come ovvio, l'attenzione di Maurolico si concentrò sulla restituzione dell'opera di Archimede; durante questo lavoro, probabilmente cominciarono a presentarsi alla mente del matematico domande sull'approssimazione archimedea e su possibili miglioramenti di quella stima. Questo nuovo interesse e questa nuova indagine lo portarono a interrogarsi sul concetto di rapporto e sul particolare genere di rapporto fra circonferenza e diametro (una certa rilevanza ebbe anche l'influsso di Fine e dei suoi errori). L'idea che questo rapporto non fosse esprimibile lo condusse a provare soluzioni di altro genere, come, ad esempio, la quadratura meccanica del Maurolycii tetragonismus e quella empirica del Modus alius quadrandi circulum.

3  Testimoni

I primi due testi sono contenuti nello stesso manoscritto autografo, il terzo si trova in un altro manoscritto, sempre autografo; sono collocati uno di seguito all'altro nell'edizione a stampa. Riportiamo tra i testimoni anche l'edizione moderna di M. Clagett.

Descriviamo nel dettaglio le loro collocazioni:

• mss

  • Parigi, Bibl. Nat. de France, Par. Lat. 7465 (siglum A9). cc. 21v--28v: Archimedis de circuli dimensione libellus; cc. 29r--31r: Hippocratis et Maurolycii tetragonismi.

  • Parigi, Bibl. Nat. de France, Par. Lat. 7464 (siglum A8). c. 25r: Modus alius quadrandi circulum.

• st

  • Admirandi Archimedis Syracusani monumenta omnia mathematica, ... ex traditione ... Francisci Maurolici, Palermo, 1685. (siglum S14) pp. 26--36: Archimedis de circuli dimensione libellus; pp. 36--39: Hippocratis et Maurolycii tetragonismi; p. 39: Modus alius quadrandi circulum.

  • Archimedes in the Middle Ages, vol. III, parte III, Philadelphia, 1978. (siglum Clagett) pp. 873--887: The Archimedis de circuli dimensione libellus of Francesco Maurolico.

4  Criteri di edizione

Per tutti e tre i testi siamo in possesso del manoscritto autografo e di una edizione a stampa molto tarda (pubblicata oltre cento anni dopo la morte dell'autore) e dalle travagliate vicende editoriali.²²

Il testo che presentiamo è sostanzialmente quello del manoscritto autografo, in cui sono stati effettuati limitati interventi (segnalati in apparato), volti a correggere alcune sviste dell'autore.

Abbiamo uniformato la punteggiatura e la trascrizione all'uso moderno, cercando di conservare il più possible gli usi mauroliciani per quanto concerne la presentazione del testo; ad esempio abbiamo mantenuto i simboli , per indicare, rispettivamente il quadrato di una linea o il rettangolo di due linee, simboli che nella stampa erano stati sciolti in quadratum e rectangulum.²³ Al contrario, abbiamo sciolto senza segnalazione alcune abbreviazioni, come ad esempio quelle per ultimam (ult. o ult^am) o per triangulum (tri^lum o trian^lum). In un caso (teorema 8 e scolio) abbiamo preferito conservare le abbreviazioni per i numeri (11^cim, ad esempio). In effetti si configurano, in questo caso, come numeri all'interno di formule e ragionamenti aritmetici e non come numeri isolati all'interno di testo; abbiamo pertanto preferito rimanere più vicini al dettato mauroliciano. In apparato, inoltre, sono riportate le variante descrittive del manoscritto autografo; in alcuni casi abbiamo ritenuto utile inserire anche le lezioni riportate dall'edizione a stampa, non tanto per finalità di constitutio textus ma allo scopo di segnalare e individuare le tipologie di intervento del curatore dell'edizione del 1685 rispetto al manoscritto autografo. Crediamo che un raffronto di questo tipo, fra manoscritto autografo e stampa, possibile---caso unico nel corpus archimedeo mauroliciano---per i testi sulla quadratura del cerchio, possa essere d'aiuto anche nel lavoro di edizione degli altri testi archimedei, per i quali è a disposizione unicamente l'edizione del 1685.

Completiamo quindi il raffronto fra edizione a stampa e manoscritto autografo fornendo di seguito un elenco delle variazioni sistematiche:

1. Numerazione delle proposizioni: nel manoscritto le proposizioni sono numerate con numeri arabi (1^a, 2^a etc.) posizionati nel margine esterno della pagina; una doppia barra trasversale segna l'inizio dell'enunciato; nella stampa, invece, con ``PROPOSITIO'' e numero romano al centro della pagina.

2. Citazioni dagli Elementi di Euclide: nel manoscritto, ad esempio, per 29^am 3ⁱⁱ con numeri arabi e desinenze in esponente; nella stampa solo con numeri arabi per 29 3.

3. Non abbiamo segnalato in apparato gli errori di stampa di cui diamo la lista di seguito. Archimedis de circuli dimensione libellus: § perpheria; § isosciles; § triangulnm; § rectiliceum; § contractuum; § perpendicularss; § ut pute; § rarione; § pro, positum; § COROLLAEIUM; § ficut; § sesqui septimam; § aggegato. Hippocratis et Maurolycii tetragonismi: § rarionem; § etgorationem; § dedimensione circuil.

4. Abbiamo scelto, infine, di non segnalare in apparato le varianti grafiche di alcune parole, delle quali, però diamo conto qui di seguito, segnalando la loro prima occorrenza: Archimedis de circuli dimensione libellus: § periferia A peripheria S; § spacio A spatio S; § utpote A ut pote S; § utputa A ut puta S; § polygonii A poligonii S; § 48^a A quadragesima octava S; § quatuordecima A 14 S; § biscenties A bis centies S. Hippocratis et Maurolycii tetragonismi: § periferiam A peripheriam S; § 12^a A duodecima S; § spacia A spatia S; Modus alius quadrandi circulum: § utpote A ut pote S.

Esaminiamo ora alcuni aspetti legati alla maniera in cui si presenta il manoscritto Par. Lat. 7465.

1. Nel codice sono presenti due tipi di aggiunte: aggiunte in scribendo (contrassegnate con il siglum A) e aggiunte temporalmente successive, chiaramente distinte, dovute a un ripensamento da parte di Maurolico (segnalate con il siglum A1). Si tratta, in particolare, di due aggiunte dello stesso genere (ai teoremi 4 e 6 dell'Archimedis de circuli dimensione libellus), volte a fornire un collegamento fra l'enunciato della proposizione di carattere geometrico archimedeo e un ragionamento di carattere artimetico.

2. Nel teorema 4 il triangolo viene indicato nel manoscritto autografo con la lettera E, in maniera coerente con le due figure presenti. Nella stampa, lo stesso triangolo viene invece indicato con le lettere CEF; in effetti nella seconda figura contenuta nel manoscritto, oltre alla lettera E al centro del triangolo, compaiono anche le lettere c, e, f, ovviamente in corrispondenza dei tre vertici.

3. Nel teorema 7, nell'edizione a stampa si trova inserita, probabilmente per ragioni di chiarezza, la parola ratio all'interno dei ragionamenti mauroliciani, spesso stringati. Così, ad esempio, ``eg ad gh'' del manoscritto è diventato nella stampa ``ratio eg ad gh'' e così via. Abbiamo scelto di non segnalare in apparato queste varianti che, tutte dello stesso genere, avrebbero solo appesantito l'apparato stesso.

Segnaliamo infine, l'uso, in un caso, del termine diametron, di derivazione greca.

5  Rapporti fra i testimoni

Cominciamo col dire che, ovviamente, per ragioni temporali, i manoscritti (ricordiamo, infatti che i testimoni manoscritti sono due) non possono essere copia della stampa.

Piú delicato si presenta, invece, determinare se la stampa sia o meno copia dei manoscritti stessi.

Da fonti esterne sappiamo infatti che le vicende che portarono alla pubblicazione dell'Archimede di Maurolico furono abbastanza particolari.²⁴

In particolare, per ciò che concerne la nostra discussione attuale, giova ricordare due punti fondamentali:

1. L'edizione venne condotta a partire da manoscritti autografi;

2. Giovanni Alfonso Borelli lavorò alla preparazione della stampa.

Esaminiamoli uno per uno mettendo in luce l'importanza di questi dati per stabilire il rapporto fra i testimoni.

Notizie in merito all'edizione ci giungono dalla prefazione dell'edizione stessa nella quale Cillenio Esperio, lo stampatore, inserisce alcune lettere che chiariscono vari punti della vicenda. In particolare abbiamo una lettera di Carlo Balsamo, gesuita messinese (datata Messina, 20 giugno 1681), che rispondendo ad alcune questioni poste dalla stesso Cillenio Esperio, relativamente all'autencitità mauroliciana dei testi che si andavano a pubblicare, scrive che i manoscritti erano scritti con la grafia di Maurolico stesso:

Il Carattere qui assai noto del Marolì, che pure io stesso conosco; carattere minuto, e che molto favoriva al risparmio della carta. ... E poi si dava a stampare l'autografo del Marolì sopra il medesimo libro.

Occorre dire che non ci pare che i manoscritti contenti gli scritti sulla quadratura del cerchio oggi a nostra disposizione abbiamo la scrittura caratteristica descritta da Balsamo.²⁵

Secondariamente, il fatto che il curatore dell'edizione sia stato un matematico esperto come Borelli non permette di escludere un intervento pesante, dal punto di vista anche testuale, da parte di Borelli stesso.

Se da una parte le informazioni di Balsamo tenderebbero a non escludere la possibilità di una poligenesi, dall'altra alcune varianti (anche di peso) potrebbero essere imputabili all'intervento borelliano.

Siamo in presenza di alcune varianti di carattere adiaforico, ma non ci pare di tale consistenza da poter essere definitive.

Sempre in merito ai rapporti fra testimoni crediamo sia utile descrivere nel dettaglio un caso particolare. Nel manoscritto autografo Maurolico, per riferirsi al triangolo, adopera la parola trigonum, quando scrive per esteso, mentre le forme abbreviate di cui fa uso sono tri^lum oppure trian^lum. Nel manoscritto autografo compare una sola volta la parola triangulum scritta per esteso.²⁶ Nella stampa compaiono le parole, sempre per esteso, trigonum e triangulum in esatta corrispondenza con quanto accade nel manoscritto (ad eccezione ovviamente, del fatto che nel manoscritto le occorrenze di triangulum sono abbreviate). Fanno eccezione solo due casi (su 15 casi totali di uso del termine triangulum, 40 di trigonum):²⁷ nell'enunciato del teorema 4, dove la stampa ha triangulum invece di trigonum e nel testo della stessa proposizione dove il manoscritto riporta trigonum E e la stampa triangulum CEF.²⁸ Diamo di seguito tutte le varianti fra i due testimoni, eccezion fatta ovviamente per quanto già segnalato nella sezione precedente relativamente a variati grafiche o, comunque, banali.

Archimedis de circuli dimensione libellus:

1LIBELLUS A LIBER EX TRADITIONE FRANCISCI MAUROLYCI S

2enim A om. S

5ae A EA S

18circum A circa S

20quod correxi qui A S

22trigono A triangulo S

24E A CEF hic et ubique in ista propositione S

25angulum S anguli A

28akb A AK S

30semidiametro: post semidiametro add. NK S

31trigono E A triangulo CEF S

32akb A AB S

33reliquis A reliquae S

34tribus correxi quatuor A om. S

37apkr A APRB S

38 E in interl. A CEF S

39fuitque A fuit S

40 eritque A et erit S

43sicut: ante sicut add. est S

44sicut: ante sicut add. est S

48td S zd A

56perimeter A peripheria S

58quam A om. S

62maior: post maior add. est S

64Ducantur S Ducatur A

65bg A bc S

66sic S sicut A

69quam supplevit Clagett

72subtendit A substendit S

73aequilateri S aequilaterum A

75maior: post maior add. est S

76triplus A tripla S

77perimeter A peripheria S

78maior: post maior add. est S

79maior: post maior add. est S

81perimetro A peripheriae S

84aequales sunt simul: simul trans. ante aequales S

85quadratis 11 A trans. S

86quod supplevi

89Sed   11cim A om. S

91suarum A suorum S

94est area A trans. S

97nam A1 non S

99octogesima A1 octuagesima S

100octogies correxi octogesies A S

107ab A ACB S

109ab A ACB S

111zh A ZFH S 112zh A ZFH S 113ab A ACB S 114ostendo A ostendam S 115ab A ACB S 116zh A ZFH S 117ab A ACB S 118zh A ZFH S 119ab A ACB S 120zh A ZFH S 121zh A ZFH S 122ab A ACB S 123zh A ZFH S 124ab A ACB S 125potes A om. S 126causa A gratia S

Hippocratis et Maurolycii tetragonismi:

0 eritque A et erit S

1duplus A duplex S

2erat A est S

3aequalis A aequales S

6MAUROLYCII A MAUROLYCI S

7diametrum A diametro S

8centrumque A centrum S

13quando A quoniam S

15portionum A proportionum S

16quarumcumque A quorumcumque S

17perficiunt A conficiunt S

18hoc S hac A

19docentes: docentem Clagett

22itaque centrum gravitatis A om. S

25Archimede A Archimedeæ S

Modus alius quadrandi circulum:

1oporteat A oportet S

8ac A ag S

¹  Abbiamo conservato la grafia ``Maurolycius'', come compare nel manoscritto autografo Par. Lat. 7465 in cui il testo è contenuto: ``MAUROLYCII TETRAGONISMUS'' (c. 29v). In realtà, nei tempi successivi, la versione del nome utilizzata sarà ``Maurolycus''. Abbiamo comunque preferito conservare questa grafia perché si presenta in altri due casi nello stesso periodo o poco prima: è la versione adottata nei Grammaticorum rudimentorum libelli sex (Messina, 1528, il primo testo a stampa pubblicato da Maurolico) e anche nei Sereni cylindricorum libelli duo, contenuti nello stesso manoscritto: ``Messanae in freto siculo manu et industria Francisci Maurolycii 16 augusti 1534'' (c. 20r).

²   Admirandi Archimedis Syracusani monumenta omnia mathematica, ... ex traditione ... Francisci Maurolici. Per una descrizione precisa delle collocazioni di queste opere si consulti la sezione 3 (Testimoni), più avanti in questa stessa introduzione.

³  Basti qui ricordare, ad esempio, il differente numero di proposizioni delle due opere: solo tre nella versione archimedea, ben dodici in quella di Maurolico.

⁴  Non è ben chiara l'origine di questo lavoro che è collocato come una sorta di testo preliminare, ma in effetti anticipa risultati di altre opere del volume con dimostrazioni differenti.

⁵  Rimandiamo una breve discussione in merito all'introduzione all'Archimedis de circuli dimensione libellus.

⁶  Cfr. Par. Lat. 7465, c. 28v.

⁷  Cfr. Par. Lat. 7465, c. 31r: ``19^o augusti 1534''.

⁸  Cfr. Grammaticorum libelli sex, c. 7v.

⁹  Anticipiamo fin d'ora che Maurolico potrebbe aver tratto idee e ispirazione da testi della tradizione arabo-latina e dall'enciclopedia De expetendis et fugiendis rebus di Giorgio Valla, pubblicata nel 1501. La dipendenza di alcune opere di Maurolico dal De expetendis è stata dimostrata in vari studi, come, ad esempio, l'opera di Mogenet su Autolico di Pitane: Autolycus de Pitane, Louvain, 1950. Mogenet dimostra la dipendenza degli studi di sferica di Maurolico dall'opera di Valla. Anche altri studiosi, successivamente, hanno dimostrato un'analoga influenza in altri casi, ad esempio per le coniche, per l'ottica e per i risultati dell'archimedeo Equilibrio dei piani.

¹⁰  Cfr. Cosmographia, c. 4r^*.

¹¹  A questo probabilmente si riferisce il ``prius quam ipsius Archimedis opera vidissem''.

¹²  Si tratta probabilmente del testo costituito dagli altri metodi di quadratura da noi presentati nelle sezioni 2 e 3. L'aliorum potrebbe forse riferirsi anche all'opera di Luca Gaurico sul tema, il cui titolo completo è: Tetragonismus idest circuli quadratura per Campanum, Archimedem Syracusanum atque Boetium mathematicae perspicacissimos adinventa edita a Venezia nel 1503. Come vedremo nell'introduzione all'Archimedis de circuli dimensione libellus, l'opera di Gaurico costituisce la fonte attraverso la quale Maurolico conobbe l'opera di Archimede.

¹³  Questa lettera ci è nota solo attraverso alcuni estratti (contenuti nel manoscritto Escorial, &.IV.22, cc. 185r--185v, si veda Moscheo-1988, pp. 293--5), giunti in una trascrizione effettuata nella metà del XVI secolo da Juan Páez de Castro (ca 1515--1570), grande umanista spagnolo, la cui ricca raccolta di libri confluì nella Biblioteca dell'Escorial. Su questo umanista spagnolo e sul suo collegamento con la formazione del primo nucleo della biblioteca dell'Escorial si veda Antonio Durán Guardeño, Los manuscritos griegos de Arquímedes en la Biblioteca del Real Monasterio de El Escorial, in Symposium Arquímedes Fundación Canaria Orotava de Historia de la Ciencia, pp. 5--20.

¹⁴  In effetti, da evidenze interne, pare che la maggior parte della lettera sia stata scritta nel corso del 1554 e che la data in calce si riferisca solo ad alcune modifiche successive.

¹⁵  Cfr. Par. Lat. 7473, c. 9r.

¹⁶  Oronce Fine (1494-1555) matematico francesce, pubblicò i propri studi sulla quadratura del cerchio nell'opera Protomathesis (Parigi, 1532). Si veda Dictionary of Scientific Biography, vol. XV, ad vocem. L'opera di Fine venne criticata da molti matematici dell'epoca, come, ad esempio, Pedro Nunes e Jean Borrel che composero opere per mettere in luce gli errori di Fine: Pedro Nunes è autore del De erratis Orontii Finaei (Coimbra, 1546), Jean Borrel attacca Fine nella Confutatio quadraturae circuli ab Orontio Finaeo factae in Opera geometrica (Lione, 1559).

¹⁷  Per considerazioni riguardo al possibile metodo di calcolo da parte di Maurolico si veda Francesco Maurolico, mathématicien italien de la Renaissance (1494-1575), pp. 230--232.

¹⁸  Notiamo che la settima proposizione dell'Archimedis de circuli dimensione libellus in cui viene stabilita la stima per il rapporto fra circonferenza e diametro, e dove, quindi, ci si potrebbe aspettare di trovare un eventuale riferimento a un ``calculus ad mensuram peripheriae propius accedens'', riporta, invece, solamente il ben noto risultato archimedeo di 3+10/71 e 3+1/7, anche se questi valori sono ottenuti con calcoli leggermente più precisi.

¹⁹  Ne abbiamo notizia attraverso l'Index lucubrationum, un testo in cui Maurolico riportava le proprie opere e che elenca, appunto, un testo dal titolo Sermo de quadratura circuli. Clagett in The Works of F. Maurolico propone l'identificazione di questo Sermo con il Maurolycii Tetragonismus o con il Modus alius quadrandi circulum, ma ci pare che questa attribuzione non sia coerente con il genere di contenuto tipico dei Sermones.

²⁰  Cfr. Molfetta 5-7 H 15, c. 25v.

²¹  Cfr. Molfetta 5-7 H 15 c. 16r.

²²  A questo proposito si può consultare l'introduzione generale al volume. Per ulteriori approfondimenti si veda [Moscheo-1992].

²³  Questo è particolarmente vero per il Modus alius, la cui parte finale assume caratteristiche di notevole concisione e nel quale si fa abbondante uso di questo genere di simboli.

²⁴  Su questi problemi, cui abbiamo già accennato in apertura della sezione precedente, si veda l'introduzione generale al volume.

²⁵  A questo proposito può essere di una qualche utilità il raffronto fra c. 11v (scritta nel 1523) e c.12r (scritta nel 1554) del manoscritto Par. Lat. 7249, contenente scritti di ottica. La pagina del 1554 è in effetti in una minuta grafia molto compatta e potrebbe ben adattarsi alla descrizione che fa Balsamo. Questo implicherebbe l'esistenza di manoscritti autografi dei testi sulle quadrature scritti in tempi successivi al 1534.

²⁶  Si tratta di un caso molto particolare, TRIANGULUM è infatti la prima parola dell'enunciato del primo teorema, scritta in maiuscolo a scopo distintivo.

²⁷  È anche interessante notare, incidentalmente, che il termine triangulum compare soprattutto nelle prime proposizioni (grossomodo fino alla 4), mentre trigonum viene adoperato solo nella seconda parte del testo (a partire dalla proposizione 4). Negli Hippocratis et Maurolycii tetragonismi il termine trigonum compare 3 volte, triangulum 18 (di cui uno solo non abbreviato. Può inoltre essere utile ricordare che nel testo di Luca Gaurico, come vedremo la fonte di Maurolico, viene adoperato il termine trigonum.

²⁸  Ricordiamo la precedente discussione sull'uso della lettera E da parte di Maurolico, nel manoscritto, per indicare il triangolo nel teorema 4.

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