Lezione 1 - venerdì 26/09/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Introduzione al corso.
Spazi di Banach, funzionali lineari continui su spazi di Banach. Definizioni ed esempi.
Lezione 2 - lunedì 29/09/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Funzionali lineari continui su Lp. Lemma di Clarkson.
Il duale di Lp è Lq : dimostrazione nel caso 2≥p>1.
Lezione 3 - martedì 30/09/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Il duale di Lp è Lq : dimostrazione nel caso p≥2.
Il duale di L1 è L∞.
Teorema di Hahn-Banach - versione analitica - parte 1 - il lemma principale.
Lezione 4 - venerdì 3/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Esercizi su operatori lineari continui, norma operatoriale,
applicazioni lineari continue tra spazi di Banach e la loro norma.
Lezione 5 - lunedì 6/10/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Teorema di Hahn-Banach I - estensione di un operatore lineare limitato.
Teorema di Hahn-Banach II - ogni sottospazio vettoriale chiuso
di uno spazio di Banach è contenuto nell'insieme degli
zeri di un operatore lineare continuo non banale.
Il duale di L∞ non è L1.
Spazio duale, norma operatoriale, completezza dello spazio duale.
Lezione 6 - martedì 7/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Spazio biduale. Immersione isometrica di uno spazio di Banach nel suo biduale.
Spazi riflessivi - definizione ed esempi; L∞ e L1 non sono riflessivi.
Convergenza debole e convergenza debole-star. Unicità del limite debole.
Un criterio per la convergenza debole di una successione limitata.
Convergenza debole in Lp - traslazioni, funzioni oscillanti.
Lezione 7 - lunedì 13/10/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Converegenza debole in Lp ed in spazi di Hilbert.
Semicontinuità della norma.
Convergenza debole e convergenza delle norme implica la convergenza forte.
Le successioni debolmente convergenti sono limitate.
Lemma di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus.
Lezione 8 - martedì 14/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Topologia debole e topologia debole-star su spazi di Banach generali:
costruzione e sistema fondamentale di intorni.
Topogia debole(-star) e convergenza debole(-star).
Semicontinuità delle norme.
Limitatezza delle successioni debolmente convergenti.
La topologia debole e la topologia forte su uno spazio di dimensione finita sono equivalenti.
La chiusura debole della sfera unitaria è la palla unitaria.
La topologia debole e la topologia forte su uno spazio di dimensione infinita NON sono equivalenti.
Uno spazio di Banach di dimensione infinita non può essere
generato da una famiglia numerabile di vettori.
La topologia debole in uno spazio di Bananch di dimensione infinita non è metrizzabile.
Lezione 9 - venerdì 17/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Nella palla unitaria di uno spazio di Banach con duale separabile,
la topologia debole è metrizzabile. Topologia debole star: proprietà,
semicontinuità delle norme e limitatezza delle successioni debolmente convergenti.
Teorema di Tychonoff. Teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki.
Teorema di Kakutani - enunciato.
Lezione 10 - lunedì 20/10/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Se il duale di uno spazio di Banach è separabile,
allora anche lo spazio stesso è separabile.
Se il duale B' di uno spazio di Banach è separabile,
allora la palla unitaria in B' è compatta per successioni nella topologia debole-star.
Sottoinsiemi estemali della palla unitaria nel duale.
Lo spazio L1 non è il duale di uno spazio di Banach.
Esercizi ed esempi sulla convergenza debole in Lp.
Lezione 11 - martedì 21/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Funzioni di Sobolev in dimensione uno.
Definizione di derivata debole.
Unicità della derivata debole.
Esempi di funzioni di Sobolev.
Lo spazio di Sobolev W1,p - norma e completezza di W1,p.
Caratterizzazione del duale di W1,p per p=1 e per p tra 1 e infinito.
Lezione 12 - venerdì 24/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Convergenza debole in W1,p per p tra 1 e infinito.
Le successioni limitate in W1,p ammettono sottosuccessioni convergenti.
Semicontinuità della norma.
Teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni di Sobolev.
Continuità delle funzioni di Sobolev.
Una caratterizzazione delle funzioni di Sobolev W1,p
come elementi dello spazio delle distribuzioni.
Lezione 13 - lunedì 27/10/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Traslazioni e lo spazio di Sobolev W1,p.
Teoremi di estensione in W1,p.
Lezione 14 - martedì 28/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Teoremi di approssimazione in W1,p.
Lo spazio W1,2(R) e la trasformata di Fourier.
Limitatezza delle funzioni in W1,2(I) - nel caso I intervallo illimitato e I intervallo limitato.
Lezione 15 - venerdì 31/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Teoremi di immersione compatta degli spazi di Sobolev negli spazi Lp.
Prodotto tra funzioni di Sobolev.
Composizione di funzioni regolari con funzioni di Sobolev.
Lezione 16 - lunedì 3/11/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Composizione di una funzione regolare con una successione di funzioni di Sobolev che converge fortemente.
Composizione di una funzione regolare con una successione di funzioni di Sobolev che converge debolmente.
Esercizi ed esempi sulla convergenza debole in Lp e W1,p.
Lezione 17 - martedì 4/11/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Parte positiva e modulo di una funzione di Sobolev.
Se una funzione di Sobolev è nulla su un insieme misurabile,
allora anche la sua derivata debole è nulla sullo stesso insieme.
Spazi W01,p - definizioni equivalenti su intervalli.
Soluzioni deboli e soluzioni forti di problemi ellittici su intervalli - definizioni.
Lezione 18 - venerdì 7/11/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Soluzioni deboli e soluzioni forti di problemi ellittici su intervalli - equivalenza.
Regolarità delle soluzioni forti.
Principio variazionale - le soluzioni deboli sono minimi di funzionali.
Unicità delle soluzioni deboli.
Disuguaglianza di Poincaré su intervalli limitati.
Esistenza delle soluzioni deboli - successioni minimizzanti,
limitatezza e compattezza delle successioni minimizzanti,
semicontinuità del funzionale.
Costante ottimale nella disuguaglianza di Poincaré - parte 1 - traslazioni e dilatazioni.