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Directeur du volume Jean-Pierre Sutto
Introduction
1 ArithmétiquesCes pages réunissent les textes de Francesco Maurolico relatifs à l'arithmétique et l'algèbre. L'arithmétique peut d'une certaine façon être considérée comme un thème transversal des travaux du mathématicien sicilien. Premièrement l'outil numérique intervient très souvent dans nombre de domaines des mathématiques de l'époque, outre la stricte discipline arithmétique: la géométrie pratique en premier lieu, mais on trouvera dans d'autres volumes de cette édition des calculs arithmétiques basés sur des théorèmes des Coniques d'Apollonius, des calculs de trigonométrie sphérique, des tables astronomiques, etc. Ensuite certaines disciplines sont naturellement liées à l'arithmétique, quand elles ne sont pas considérées comme un de ses sous-ensembles. L'exemple premier est la musique. À celle-ci cependant, considérant ses particularités et son importance dans l'oeuvre du mathématicien sicilien, nous avons pensé dédier un volume à part: la musique ne figurera donc pas ici. L'algèbre pourrait être considérée encore comme un cas à part. Deux raisons nous ont cependant poussés à la présenter dans ce volume. Tout d'abord, l'algèbre de Maurolico est fortement « arithmétisée », en ce sens que le texte ne fait appel à aucune notion de géométrie dans ses démonstrations, ou tout du moins que les propositions du livre 2 des Éléments qu'il utilise ont perdu le caractère strictement géométrique qu'elles possédaient chez Euclide. Enfin le court texte qui nous est parvenu est l'unique de Maurolico sur le sujet, et il aurait difficilement pu remplir un volume à lui seul. Le traité de Maurolico ne semble n'avoir qu'un seul but: réduire à quatre les six régles de positions médiévales traditionnelles. Il est significatif de remarquer quel mathématicien l'auteur prend comme référence en algèbre: Regiomontanus. Cardan et Luca Pacioli par exemple, n'auront droit --- dans la lettre à Juan de La Vega --- qu'à une appréciation relativement indifférente1. Revenons à l'arithmétique proprement dite chez Maurolico. Il est possible de la répartir en première approximation en trois grandes parties: l'arithmétique euclidienne, l'arithmétique néo-pythagoricienne et l'arithmétique en tant qu'instrument de ce que Maurolico appelle la quantité générale2. Sur la première, l'effort du sicilien porte sur la clarification et la réduction des démonstrations des éditions de Zamberti et Campanus. Nous l'avons bien entendu écartée de ce volume puisqu'Euclide aura droit à son propre volume et il nous aurait fallu séparer en plusieurs parties les Éléments. Euclide ne sera pas cependant complètement absent de ce volume comme nous le verrons. Pour la deuxième il s'agit d'une monumentale extension aux nombres figurés, présents à la Renaissance principalement dans les éditions de Boèce et de Jordanus. Le caractère de figure disparaît presque totalement, au profit d'une vision strictement numérique. Le nombre figuré devient uniquement une entité numérique et les figures ne servent plus que d'illustrations. Les extensions de Maurolico aux travaux de Jordanus sont nombreuses. Maurolico généralise l'idée de ce dernier de figures hexagone et octogone équiangles à des figures qu'il nomme centrées ou du second genre, qui peuvent avoir autant de côtés que désirés. Il crée aussi des nombres figurés issus des solides réguliers platoniciens: tétraèdres ou pyramides, octaèdres, hexaèdres ou cubes, icosaèdres et dodécaèdres. Il en donne une unique définition basée sur le nombre d'angles, d'arêtes et de faces, multipliées par des triangles et pyramides et montre que certains de ces solides pourtant définis de manières différentes, sont en fait numériquement égaux entre eux. L'arithmétique des nombres figurés de Maurolico connaitra un certain succès dans son édition de 1575, particulièrement en France au début du XVIIe siècle. Pascal, Bachet de Méziriac, Fermat, Frénicle de Bessy l'utiliseront ou la citeront dans leur oe uvre3. Le troisième type est une théorie de la quantité générale, sorte de lieu commun entre quantité discrète et quantité continue. Ces travaux trouvent leur origine dans une lecture arithmétique, courante à la Renaissance, des irrationnels euclidiens du livre 10. Maurolico dépasse cependant rapidement ce premier but et cherche autant à construire un cadre théorique aux arithmétiques pratiques des nombres irrationnels, qu'à jeter les bases d'une mathématique « première », plus générale que la géométrie et l'arithmétique particulières, dont le vecteur, l'« instrument », est le nombre. Il en définit les opérations et montre que de nombreuses propositions particulières, parce que géométriques ou arithmétiques, sont en fait assez générales pour être l'apanage de la quantité générale. Maurolico se place ici comme un élément incontournable dans l'histoire de la Mathesis universalis pour l'époque classique. Son travail servira de base au belge Adrian Van Roomen4. Il faudrait enfin laisser une place à des écrits qui trouveraient difficilement une place dans les trois catégories précitées, en tant qu'écrits sans doute moins ambitieux, plus proches de l'enseignement élémentaire. 2 L'arithmétique dans les recensements de ses oeuvres fait par l'auteurLe savant sicilien nous a laissé plusieurs recensements de ses oeuvres. Elles montrent dans une certaine mesure le cheminement de ses travaux arthmétiques. On comparera ensuite les titres cités avec les oeuvres qui nous sont parvenues pour constater que les premiers ne correspondent pas toujours aux deuxièmes telles qu'elles nous sont parvenues, et que certaines oeuvres ont manifestement donné lieu à plusieurs versions successives. La version nous restant est alors chronologiquement la dernière dans l'ordre de l'écriture alors que les premières ont disparu. Procédons chronologiquement dans l'ordre des références. Dès 1528, Maurolico prévoit d'écrire deux traités d'arithmétique et des compendiums de travaux de Boèce et de Jordanus:
Dans une lettre à Pietro Bembo datée du 4 mai 1536, il annonce avoir écrit un traité d'arithmétique et des « Data » arithmétiques reprenant des travaux de Boèce et de Jordanus ainsi que des « Questions » d'arithmétique. Le tout correspond exactement aux oeuvres prévues en 1528. Précisons cependant de suite qu'aucun texte avec ces derniers titres ne nous est parvenu.
La lettre au même Bembo qui préface la Cosmographia en 1540 reprend les mêmes éléments tout en donnant plus de détails dans la deuxième des sections qu'on y trouve: un compendium de Boèce, une nouvelle version d'un texte arithmétique de Jordanus --- une « édition », mais on sait le sens très particulier qu'il faut donner à ce mot chez Maurolico ---, sans doute de l'arithmétique néopythagoricienne des nombres figurés, puis une de ses Données. Viennent enfin les propres travaux de Maurolico qu'il nomme Arithmétique spéculative. On retrouve les thèmes dont nous avons parlé plus haut et qui correspondent aux deux livres d'arithmétique qui nous sont parvenus: le premier concernant les nombres figurés, le deuxième la « pratique arithmétique » des grandeurs rationnelles et irrationnelles. Puis on trouve encore ses propres « Données » et les « Questions » que l'on trouvaient déjà dans la lettre précédente. Enfin, est faite la première mention d'un traité d'algèbre dont les caractéristiques reprennent exactement celle des manuscrits autographes que nous possédons:
La lettre à Juan de la Vega de 1556 reprendra globalement les mêmes items:
Soulignons que le texte manuscrit des six premiers livres des Arithmétiques de Diophante, s'il circulait à l'époque, ne sera imprimé qu'en 15759, et que les treize livres de Diophante sont cités par Regiomontanus puis par Ian Scheubel et Jacques Peletier du Mans.10 Le premier Index lucubrationum parraissant avec l'édition des Sphaerica en 1558 reprend encore les mêmes éléments. Les autres index, plus tardifs, reprennent pour ce qui concerne l'arithmétique celui de 1558. Les index peuvent ainsi être considérés comme identiques sur ce sujet. Tous les références à des écrits arithmétiques sont localisées dans les passages suivants:
Enfin, le manuscrit parisien Fond latin 7466 comprend à la suite de l'index lucubrationum les références de compendiums ainsi qu'un ordre de lecture conseillé pour les oeuvres mathématiques. Parmi ces dernières, on trouve des écrits arithmétiques de Maurolico:
3 L'édition: un puzzleDes titres collectés dans les listes d'oeuvres de Maurolico, seuls deux sont clairement identifiables avec les oeuvres qui nous sont aujourd'hui disponibles: les deux livres d'arithmétique spéculative, l'un consacré aux nombres figurés, l'autre aux irrationels euclidiens; et l'algèbre. Nous possédons par contre une multitude d'autres textes: la plupart se rattachent aux précédents, d'autres sont de caractère différent. Cette édition des travaux arithmétiques de Maurolico peut ainsi d'une certaine façon être assimilée à la reconstruction d'un puzzle, constitué de quelques blocs solides et d'une multitudes de fragments épars. Le premier bloc solide est constitué des deux livres d'arithmétique de l'édition imprimée à Venise en 1575. Nous en possédons par ailleurs un manuscrit non autographe. Le deuxième bloc est constitué des deux manuscrits autographes de l'algèbre qui nous sont parvenus. Enfin, le puzzle est constitué de dizaines de notes, remarques, fragments, tableaux, chapitres isolés d'oeuvres, essais préparatoires, brouillons, traitant d'arithmétique dans les manuscrits autographes de Maurolico. Leur forme est variable et les dates d'écriture sont dispersées dans le temps. Reconstituer ce puzzle fait partie des buts que s'est fixée cette édition. Cette introduction est donc appelée à être complétée au fur et à mesure de l'avancement de nos travaux éditoriaux. Les dates d'écriture de l'arithmétique spéculative et de l'algèbre ne correspondent pas avec leurs premières occurences dans les listes de la section précédente. Dès 1540 en effet, une algèbre existe alors qu'un des manuscrits autographes que nous possédons date de 1569 et que l'autre lui est encore postérieur. Dès 1536 une aritmétique existe, sans qu'on en connaisse le contenu. En 1540, une arithmétique spéculative existe, qui reprend exactement la division et les thèmes des deux livres arithmétiques qui seront imprimés en 1575 à Venise. Pourtant, ces deux textes ont été écrits d'après les dates de composition qui figurent dans l'imprimé, en 1557. Doit-on considérer ces derniers comme un certain « aboutissement » des précédents, textes introuvables aujourd'hui, ou de dizaine d'années de ce que l'on pourrait considérer comme des études préparatoires ? D'autant plus que contrairement à ce que l'on observe dans tous les autres domaines des travaux scientifiques de Maurolico, nombre des ces travaux, études, notes préparatoires nous ont été conservés et constituent ce puzzle dont nous avons parlé précédemment. Un manuscrit particulièrement important pour ce qui concerne l'arithmétique a été perdu au début du XXe siècle lors d'un tremblement de terre à Messine. Le contenu du manuscrit dit Villacanense est décrit avec précision par G. Macrì13. Il contenait les Jordani arithmetica data et la Boetii arithmetica dont il est fait à plusieurs reprises mention dans la section précédente. D'après la description faite par Macrì, les premières dataient du 20 septembre 1532 et la deuxième du 28 janvier 1554. Ne serait-ce que par la transversalité du thème arithmétique dans les travaux de Maurolico, notre classification et ce volume ne pourront rendre compte de toutes les occurences arithmétiques dans son oeuvre. Les moyens électroniques d'indexation, de recherche et de mots-clefs qui nous seront bientôt disponibles, permettront dans une large mesure de pallier à cette insuffisance. L'organisation prévue de ce volume est donc la suivante:
4 Les textes4.1 Les deux livres d'arithmétique imprimés en 1575; le manuscrit Vaticani Latini 3131Les Arithmeticorum libri duo accompagnent les Opuscula mathematica imprimés en 1575, bien qu'il s'agisse d'oeuvres distinctes avec des paginations propres. Les dates d'écriture que l'on trouve dans l'imprimé sont respectivement les 18 avril 1557 et 24 juillet 155714. La marque de l'imprimeur sur le frontispice indique: « Venitiis, Apud Franciscum Franciscium Senensem, M D L X X V ». Nous possédons aujourd'hui sur l'impression des Opuscula mathematica des informations précieuses. En particulier on sait que l'opération se déroula presque entièrement dans le milieu des jésuites de Messine, Rome et Venise, et que le besoin de compendiums pour l'enseignement des mathématiques dans les collèges ainsi peut-être que la venue de Clavius à Messine en 1574, furent les moteurs de cette entreprise. Malheureusement, dans tous les documents qui nous sont parvenus, il n'est jamais fait mention de textes arithmétiques --- en particulier il n'en est fait mention ni dans la biographie du Baron delle Foresta ni dans les lettres entre jesuites concernant l'impression des Opuscula mathematica. Sans doute firent-ils partie du même lot que des Opuscula mathematica, sans que l'on puisse en être certain. Il existe de plus un manuscrit non autographe de ces textes à la Bibliotheca Apostolica Vaticana, référencé Vaticani Latini 3131. Ce manuscrit présente certaines particularités notables pour l'histoire de ces textes. En premier lieu le manuscrit comble des lacunes de l'imprimé. Certaines parties des démonstrations et propositions 64 et 65 du premier livre de l'édition de 1575 sont manquantes, ce que l'imprimeur a indiqué par un « Hic pauca desunt », puis par un « Hic multa desunt, quae non sunt in exemplari manuscripto »15. Le texte est complet dans le manuscrit. De plus, ce dernier commence par une lettre de dédicace absente du volume imprimé. Elle est adressée au Cardinal Marco Antonio Amulio -- ou Da Mula -- et est datée du premier décembre 1568. La fin de la lettre dit:
Un manuscrit a donc été dédicacé, copié et envoyé au cardinal Amulio, à des fins d'impression, dès 1568. Mais nous ne savons pas aujourd'hui ce qu'il est advenu de cette entreprise. 4.2 Des fragments répartis dans de nombreux manuscritsLes deux livres d'arithmétique écrits en 1557 semblent comme nous l'avons dit, l'aboutissement de décénies de travaux. Deux manuscrits en particulier réunissent un grand nombre de fragments les concernant. Le travail de recension et d'évaluation précise des contenus et dépendances avec les textes de 1557 est en cours. Donnons quelques généralités. Le manuscrit de la Bibliothèque Nationale à Paris Fonds latin 7473 contient des fragments arithmétiques relatifs aux nombres figurés. Il s'agit pour la plupart de longues séries de propositions et de démonstrations. Les dates inscrites par Maurolico à la fin de ces séries sont toutes entre 1553 et 1557. Pour la grande majorité, il est possible de trouver les passages correspondants dans le premier livre de l'édition de 1575. Quelques fois les textes sont très proches, d'autres fois, le texte de l'édition semble remanié. Le manuscrit de la Bibliothèque Nationale Vittorio Emmanuele II à Rome sous la côte San Pantaleo 115/32 contient lui aussi de nombreux fragments sur les mêmes sujets, de dates plus anciennes que le précédent. On remarquera en particulier un colophon final daté du 28 septembre 1532 d'une oeuvre avec le titre Arithmeticae speculativae supplementa. Le même manuscrit contient une version arithmétique du livre 2 des Éléments d'Euclide datée du 21 janvier 1532, ainsi qu'un chapitre intitulé « Caput 16um et arithmeticorum postremum », consacré aux déterminations et calculs des lignes dans les solides réguliers, unique partie d'un ouvrage plus général inconnu. De nombreux autres manuscrits comportent des pages arithmétiques. Même après l'écriture en 1557 des versions des deux livres d'arithmétiques qui seront par la suite imprimées, Maurolico continuera à travailler cette question. En témoigne par exemple le 2 septembre 1570, date à laquelle il écrira encore une table arithmétique des quantités rationnelles et irrationnelles --- Manuscrit de la Bibliothèque Nationale à Paris Fonds latin 7463, folio 3r. Nous renvoyons pour une évaluation complètes de tous ces fragments particulièrement intéressants, à de futures notices introductives. 4.3 Les deux manuscrits de l'algèbreLes deux manuscrits autographes de l'algèbre de Maurolico nous sont conservés à la Bibliothèque Nationale à Paris, sous les côtes Fonds latins 7466, folios 19r--23v et Fonds latins 7459, folios 1r--7v. Ils n'ont été édités qu'en 1876 par Federico Napoli17. Seul le premier comporte des dates d'écriture: 7 octobre 1569 et 18 janvier 1570, mais Maurolico cite dans la lettre à Pietro Bembo en 1540 une oe uvre portant ce même titre. Notons enfin que si le premier texte est adressé à un « lecteur » impersonnel et générique, le deuxième est adressé à « Cristofore Clavi », ce qui nous laisse une fois de plus soupçonner le rôle important que joua Clavius dans les dernières années de la vie de Maurolico. 4.4 VariaDans cette rubrique nous avons choisi de placer des textes qu'il nous paraissait difficile de faire entrer dans une des catégories ci-dessus. C'est le cas en particulier d'un fragment de 13 folios du manuscrit San Pantaleo 115/32 de la Bibliothèque Nationale Vittorio Emmanuele II à Rome contenant un chapitre intitulé « Arithmeticae praxeos demontrationes. Cap. XIIII. », daté du 4 janvier 1545. Il s'agit des premiers pas en arithmétique: chiffres, compositions des nombres, opérations, tables de multiplication, preuves par 9, etc. Les pages sont particulièrement soignées et ce texte arithmétique est suivi du début d'un chapitre 15 intitulé « Geometricae praxeos demontratio » qui montre bien qu'il devait s'agir d'un ouvrage plus général qui ne nous est pas parvenu en entier.
1 Voir Federico Napoli, Intorno alla vita ed ai lavori di Francesco Maurolico, Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche, tome 9, 1876, page 30. 2 Jean-Pierre Sutto, Les arithmétiques de Francesco Maurolico, in Napolitani P.D., Souffrin P., Medieval and Classical Traditions and the Renaissance of Physico-Mathematical Sciences in the 16th Century, XX International Congress Of History of Science Symposium, 2001, pages 75--83. 3 Jean-Pierre Sutto, Francesco Maurolico, le premier livre des Arithmétiques et l'induction mathématique, Matapli, numéro 45, janvier 1996, pages 15--23. 4 Jean-Pierre Sutto, Les arithmétiques de Francesco Maurolico, in Napolitani P.D., Souffrin P., Medieval and Classical Traditions and the Renaissance of Physico-Mathematical Sciences in the 16th Century, XX International Congress Of History of Science Symposium, sous presse. 5 Voir Marshall Clagett, The Works of Francesco Maurolico, Physis, anno XVI, 1974, numero 9, page 171. 6 Voir Marshall Clagett, The Works of Francesco Maurolico, Physis, anno XVI, 1974, numero 9, page 172. 7 Voir Marshall Clagett, The Works of Francesco Maurolico, Physis, anno XVI, 1974, numero 9, pages 175--176. 8 Voir Federico Napoli, Intorno alla vita ed ai lavori di Francesco Maurolico, Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche, tome 9, 1876, page 31 9 Diophante, édition de Xylander, Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex [...]. Item liber de numeris polygonis seu multiangulis, Bâle, 1575. 10 Regiomontanus, Oratio Iohannis de Monteregio habita Patavij in pralectione Alfragani, Nuremberg, 1537 dans Opera Collectanea, Otto Zeller Verlag, Osnabrück, 1972, page 46; Ian Scheubel, Algebrae compendiosa facilisque descriptio, qua depromuntur magna Arithmetices miracula, Paris, 1552, page 2; Jacques Peletier du Mans, L'Algèbre, Lyon, 1554, page 2; et dans la version latine du même: De occulta parte numerorum, quam Algebram vocant, Paris, 1560, 2e page de la préface. 11 Voir Marshall Clagett, The Works of Francesco Maurolico, Physis, anno XVI, 1974, numero 9, pages 179--182. 12 Voir Marshall Clagett, The Works of Francesco Maurolico, Physis, anno XVI, 1974, numero 9, pages 187--190. 13 Voir Rosario Moscheo, Francesco Maurolico tra Rinascimento e scienza galileiana. Materiali e ricerche, Società messinese di Storia Patria, Messine, 1988, pages 303--309. 14 Arithmeticorum libri duo, Venise, 1575, pages 82 et 175. 15 Arithmeticorum libri duo, Venise, 1575, page 29. 16 Voir Rosario Moscheo, Francesco Maurolico tra Rinascimento e scienza galileiana. Materiali e ricerche, Società messinese di Storia Patria, Messine, 1988, page 279. 17 Voir Federico Napoli, Intorno alla vita ed ai lavori di Francesco Maurolico, Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche, tome 9, 1876, pages 41--49.
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