Capitolo 1. Esistenza e proprietà globali delle soluzioni deboli
Formulazione debole di problemi ellittici.
Principio del massimo debole e teoremi di confronto.
Iterazione di De Giorgi e limitatezza delle soluzioni.
Limitatezza delle autofunzioni del Laplaciano con condizioni di Dirichlet.
Capitolo 2. Teorema della regolarità ellittica
Teorema della regolarità ellittica all'interno per soluzioni del problema di Poisson.
Teorema della regolarità ellittica al bordo per soluzioni del problema di Poisson con dato di Dirichlet in domini con bordo piatto.
Riduzione al caso di bordo piatto - raddrizzamento del bordo e soluzioni di problemi ellittici in forma di dovregenza.
Teorema della regolarità ellittica all'interno e fino al bordo per soluzioni di problemi ellittici in forma di divergenza.
Capitolo 3. Proprietà della media e le sue conseguenze
Teoremi della media per soprasoluzioni e sottosoluzioni.
Regolarità interna delle soluzioni del problema di Poisson.
Continuità Hölder delle soluzioni (all'interno e fino al bordo) via la proprietà della media.
Capitolo 4. Funzioni subarmoniche
Definizioni equivalenti di funzioni subarmoniche.
Punti di Lebesgue e definizione puntuale di una funzione subarmonica.
Semicontinuità delle funzioni armoniche.
Insieme polare.
Legami con la teoria delle funzioni olomorfe.
Capitolo 5. Proprietà della funzioni armoniche
Teoremi di esistenza basati su principi variazionali - esistenza di funzioni armoniche con dato Lipschitz al bordo.
Stima del gradiente per le funzioni armoniche.
Teorema di Liouville.
Disuguaglianza di Harnack per le funzioni armoniche.
Bounded slope condition e regolarità Lipschitz delle funzioni armoniche fino al bordo.
Proprietà delle palla esterna e continuità fino al bordo delle funzioni armoniche.
Esistenza di funzioni armoniche con dato al bordo continuo.
Misure armoniche e formula di Poisson.
Funzioni armoniche in senso di viscosità.
Regolarità delle funzioni armoniche con dato Lipschitz al bordo.
Capitolo 6. Operatori ellittici in forma di divergenza
Disuguaglianza di Caccioppoli; oscillazione e continuità Hölder; teorema di De Giorgi.
Stime di Schauder.
Continuità Lipschitz delle soluzioni all'interno e fino al bordo. Metodo del blow-up.
Formule di monotonia e disuguaglianza epiperimetrica.
Differenziabilità delle soluzioni all'interno e fino al bordo.
Lezione 1 - giovedì 27/02/2025, dalle 09:00 alle 11:00.
Introduzione al corso. Soluzioni deboli di problemi ellittici in forma di divergenza
- definizione, formulazione variazionale, esistenza, unicità.
Limitatezza delle soluzioni di PDE ellittiche con condizioni di Dirichlet al bordo -
parte I - dimostrazione della stima principale che deriva dal confronto con le funzioni troncate.
Lezione 2 - lunedì 03/03/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Limitatezza delle soluzioni di PDE ellittiche con condizioni di Dirichlet - parte 2 - Iterazione di De Giorgi.
Limitatezza delle autofunzioni con condizioni di Dirichlet.
Lezione 3 - giovedì 06/03/2025, dalle 09:00 alle 11:00.
Teorema della regolarità ellittica all'interno per soluzioni del problema di Poisson (laplaciano di u uguale ad f in un dominio aperto).
Regolarità delle autofunzioni del Laplaciano.
Teorema della regolartià ellittica fino al bordo per soluzioni del problema di Poisson -
il caso delle soluzioni con dato di Dirichlet su una porzione di bordo planare.
Cambiamento delle coordinate per soluzioni di PDE ellittiche in domini con bordo Lipschitz.
Lezione 4 - lunedì 10/03/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Teorema generale della regolarità ellittica per soluzioni di PDE ellitiche con operatori
in forma di divergenza - all'interno e fino al bordo.
Lezione 5 - giovedì 13/03/2025, dalle 09:00 alle 11:00.
Domini planari e mappe conformi; composizione della soluzione di una PDE ellittica con una mappa conforme.
Costruzione di mappe conformi tra domini con bordo regolare e domini con bordo rettilineo.
Definizione di sottosoluzioni e soprasoluzioni in domini aperti.
Lezione 6 - lunedì 17/03/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Teorema della media e definizione puntuale
per soprasoluzioni, sottosoluzioni e soluzioni di problemi ellittici.
Regolarità Holder interna delle soluzioni via la formula della media.
Lezione 7 - giovedì 20/03/2025, dalle 09:00 alle 11:00.
Estensione di soluzioni positive con dato di Dirichlet al bordo.
Regolarità Holder fino al bordo delle soluzioni via la formula della media.
Lezione 8 - lunedì 24/03/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Una caratterizzazione degli spazi H01 su domini aperti con la stima di densità esterna.
Lezione 9 - giovedì 27/03/2025, dalle 09:00 alle 11:00.
Funzioni subarmoniche in L1loc- definizioni equivalenti in senso distribuzionale e con la formula della media.
Definizione puntuale, semicontinuita, insieme polare. Convergenza di successioni di funzioni subarmoniche.
Lezione 10 - lunedì 31/03/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Funzioni armoniche in domini aperti - formulazione variazionale, esistenza, principio del massimio debole.
Le funzioni con gradiente debole limitato sono lipschitziane. Le funzioni Lipschitziane con supporto limitato sono funzioni di Sobolev.
Estensione di una funzione lipschitziana definita su un insieme chiuso.
Lezione 11 - giovedì 03/04/2025, dalle 09:00 alle 11:00.
Estensione di una funzione lipschitziana definita su un insieme chiuso. Bounded slope condition.
Le funzioni che soddisfano la bounded slope condition sono Liupschitziane.
Stima del gradiente per funzioni armoniche.
L'estensione armonica di una funzione che soddisfa la bounded slope condition è lipscitziana fino al bordo.
Lezione 12 - lunedì 07/04/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Esempi di funzioni che soddisfano la bounded slope condition -
funzioni di classe C2 su domini convessi con curvatura strettamente positiva.
Domini con la proprietà della palla esterna.
In un dominiio con la proprietà della palla esterna, le funzioni armoniche con dato continuo al bordo sono continue fino al bordo.
Lezione 13 - giovedì 10/04/2025, dalle 09:00 alle 11:00.
Esistenza di funzioni armoniche con dato al bordo continuo in domini con la proprietà della palla esterna.
Misure armoniche - definizione generale, esempio (la formula di Poisson), definizione equivalente in dimensione due.
Soluzioni armoniche in senso viscoso - definizione e equivalenza con la definizione classica di funzione armonica.
Lezione 14 - lunedì 14/04/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Esempio di una funzione armonica con gradiente illimitato e dato Lipschitz al bordo.
Continuità Holder delle funzioni armoniche con dato Lipschitz al bordo di un dominio Lipschitz - un'applicazione del teorema di De Giorgi.
Teorema di De Giorgi - enunciato e punti principali della dimostrazione. Disuguaglianza di Caccioppoli.
Lezione 15 - giovedì 17/04/2025, dalle 09:00 alle 11:00.
Dimostrazione del Teorema di De Giorgi.
Parte I: stima L2 - L-infinito.
Parte II: stima della misura del livello intermedio.