58 Theorema XX

Si a signo quopiam tres in diaphanam sphaeram profluant³⁷¹ radii, unus quidem per centrum, reliqui vero ab eo, qui per centrum, aeque remoti, atque intra sphaeram fra[S:44]cti paralleli fuerint, ad idem punctum extra cum eo, qui per centrum, concurrent [C:35v] et a sphaera ea distantia remotum, qua et signum digressus. Si autem intra sphaeram in arctum confluant, concurrent³⁷² ad punctum minori remotione distantem, quam signum digressus³⁷³. 59 Eritque tunc digressus a sphaera remotior digressu parallelorum; congressus vero congressu propinquior. Si vero intra sphaeram in amplum effluant, concurrent ad punctum magis a sphaera remotum, quam signum³⁷⁴ digressus, eritque tunc digressus sphaerae propior digressu parallelorum, congressus vero congressu remotior.

60 In diaphanam sphaeram abcd, a signo e profluant tres radii, efg per centrum, ea et eb ab ipso efg aeque remoti, sintque ac et bd fracti paralleli. Dico quod concurrent ad idem signum cum eg, quod sit h,³⁷⁵ eritque ef ipsi gh aequalis. Cum enim ea et eb sint ab ipso eg [A:6v] aeque remoti, sunt³⁷⁶ et aeque inclinati. Quare, connexis abcd³⁷⁷ signis cum centro k erunt, per 2^um378 suppositum, anguli eak³⁷⁹ et kch invicem aequales. Sed³⁸⁰ ipsi akf³⁸¹ et ckg³⁸² invicem aequales³⁸³, quandoquidem aequos sibi vendicant arcus. 61 Item et ak et kc latera aequalia. Igitur et ek et kh invicem aequalia. Quare ipsae distantiae ef et gh aequales³⁸⁴. Similiter ex aequalitate triangulorum kch et kdh ostendemus ipsos ch et dh radios ad idem signum cum eg concurrere. Sint quoque a signo l tres radii, lfg quidem per centrum at lm et ln aeque ab ipso lg remoti, sed³⁸⁵ non aliter, quam ea, eb ad sphaerae superficiem inclinati. 62 Sintque [C:36r] mo et np fracti in arctum confluentes qui extra concurrant cum lg ad signum q. Quod ex aequaliatate triangulorum koq et kpq, sicut prius, ostendemus. Dico quod maior est ipsa lf distantia, quam gq. Connexis enim mnop³⁸⁶ signis cum centro k, erunt propter aequas incli[S:45]nationes et aequas fractiones anguli lmk et koq³⁸⁷ aequales, et mk³⁸⁸ et ko latera aequalia. Sed angulus mkl propter maiorem arcum, maior est angulo³⁸⁹ okq³⁹⁰. 63 Sequitur ergo ut latus lq³⁹¹ maius sit ipso kq, et ideo lf distantia maior ipsa gq. Dico etiam quod³⁹² maior est lf quam ef minor vero gq quam gh. Nam quia lm et ea radii supponuntur aeque inclinati, ideo aequales erunt anguli lmk et eak³⁹³. Latera quoque³⁹⁴ mk et ak aequalia, angulus³⁹⁵ vero mkl angulo ake maior. Quare sequitur ut latus lk maius sit ipso ek, et ideo lf maior quam ef. Similiter ex triangulis koq et kch ostendemus maiorem esse gh quam gq. 64 Quod autem angulus mkl sit ipso ake maior patet. Quia, propter aequas radiorum lm et ea inclinationes, oportet³⁹⁶ ut triangula mko et akc sint invicem aequilatera, et ideo ipsae mo et ac sunt³⁹⁷ aequales. Ergo et arcus mco et amc erunt invicem aequales. Quare mf et og arcus, qui restant de semicirculo, simul sumpti erunt aequales ipsis af et cg arcubus, qui de³⁹⁸ semicirculo³⁹⁹ supersunt, simul sumptis. 65 Sed mf arcus maior est ipso og, quandoquidem ipse mo fractus radius in angustum ipsi fg [A:7r] confluere supponitur. Necesse est ergo⁴⁰⁰, ut arcus mf ipso⁴⁰¹ af maior fit⁴⁰² og vero⁴⁰³ ipso cg minor⁴⁰⁴. [C:36v] Quare angulus mkl ipso ake maior, ipse vero okq ipso ckh⁴⁰⁵ minor.

Residuum autem theorematis facile patet, si signa h, q ea intelligantur, a quibus radii digrediuntur, signa vero e, l ea, ad quae iidem congrediuntur. Sed haec omnia facilius paterent, si radius each immutatis angulis in situm ipsius lmoq transferretur.

66 Corollarium⁴⁰⁶

Satis ergo patet quod radii ad⁴⁰⁷ sphaeram confluentes intra sphaeram fracti nunc in angustum⁴⁰⁸, nunc⁴⁰⁹ in amplum, nunc⁴¹⁰ paralleli procedunt; paralleli vero ad sphaeram progredientes, semper in angustum vel in amplum⁴¹¹ fracti contendunt. Sed omnes⁴¹² sphaeram exeuntes semper in arctum conveniunt. [A:11v]

67 Corollarium ponendum post corollarium 20^ae413

Patet etiam quod a puncto quopiam in sphaeram vitream radiis quotlibet profluentibus⁴¹⁴, uno quidem per centrum, reliquis autem⁴¹⁵ a centro aeque remotis, signa ingressuum sint⁴¹⁶ in eodem circulo⁴¹⁷ at⁴¹⁸ puncta egressuum in alio quoque circulo sita sint⁴¹⁹ , suntque hi duo circuli paralleli. Radius enim [S:46] qui per centrum est axis utriusque qui quidem circuli aequales sunt quando⁴²⁰ radii intra sphaeram paralleli sunt, inaequales vero quando non⁴²¹. [A:7r]