54 Theorema XIX³⁴⁵

[A:6r] Radio³⁴⁶ intra sphaeram pellucidam diametro sibi parallelo³⁴⁷ extra congrediente, sphaerae semidiameter ad distantiam congressus maiorem semper sortietur proportionem, quam angulus fractionis ad angulum, qui sub perpendiculari [C:35r] et fracto³⁴⁸ comprehenditur.

55 Ut si in diaphana³⁴⁹ sphaera³⁵⁰ abd, radius ab diametro cd parallelus in signo b fractus extra ad signum e congrediatur, sitque centrum f³⁵¹, maior erit ratio³⁵² fd ad de, quam anguli fractionis³⁵³ ad angulum, qui sub perpendiculari et fracto³⁵⁴ comprehenditur. Ducatur enim bf, eritque, propter radiorum aequidistantiam, angulus bfd aequalis angulo abf, qui scilicet³⁵⁵ sub perpendiculari bf et ipso ab fracto³⁵⁶ comprehenditur. 56 Angulus autem bed aequatur angulo fractionis abg³⁵⁷. Et, quoniam in triangulo bef portio³⁵⁸ fd basis ipso bf latere minor non est, ideo, Ptolemaei³⁵⁹ lemmate adducto, proportio fd ad de maior erit³⁶⁰, quam anguli³⁶¹ bed ad angulum bfd³⁶². Verum est ergo³⁶³ quod proponitur.

57 Corollarium

Quoniam ergo, per decimae³⁶⁴ corollarium, angulus sub perpendiculari et fracto³⁶⁵ contentus ad angulum fractionis sicut quinque³⁶⁶ ad tria invenitur; ideo, posito³⁶⁷ sphaerae transparentis semidiametro trium partium, fiet semper distantia congressus paralleli diametro radii minor quam quinque³⁶⁸ ex eisdem³⁶⁹ partibus.³⁷⁰