Ex Secundo

19 Proportio sinus totius ad sinum arcus semidiurni Solis vel stellae, est sicut proportio sinus complementi declinationis eiusdem stellae ad sinum complementi latitudinis ortus eiusdem. Item proportio sinus altitudinis aequatoris ad sinum totum est sicut proportio sinus declinationis Solis vel stellae ad sinum latitudinis ortus ipsius. 20 Adhuc⁷ sicut sinus secundus declinationi astri ad sinum altitudinis poli, sic sinus latitudinis ortus ad sinum differentiae ascensionalis. Proportio sinus altitudinis Solis ad sinum complementi eius est sicut proportio longitudinis styli ad suam umbram rectam.[A:28r] 21 Proportio autem sinus complementi altitudinis solaris ad sinum suae altitudinis est sicut proportio longitudinis styli ad suam umbram versam.

Unde, quando altitudo Solis est 45 graduum, quoniam tunc sinus altitudinis est aequalis sinui eius complementi, utraque umbra est aequalis suo stylo. 22 Item stylus semper est medius proportionalis inter duas umbras rectam ac versam.

Sub aequatore, omnes arcus diurni sunt aequales nocturnis, et omnes stellae oriuntur et occidunt et umbra recta versus quatuor mundi plagas proiicitur. Et quandoque nulla est. 23 Sub omni parallelo versus septentrionem ab aequatore, bis tantum in anno fit dies aequalis nocti. Et dies aestivi hybernis longiores: noctes autem breviores, quanto scilicet ab aequinoctio distantiores. Et quaedam stellae semper apparentes, quaedam semper occultae. Et latitudo loci aequalis altitudini poli. 24 Sub remotiori parallelo ab aequatore, maior dierum ac noctium aequalitas. Maiorque numerus stellarum semper apparentium ac semper delitescentium. Sub omni parallelo inter aequinoctialem et tropicum Cancri, umbra recta quadrifariam porrigitur: et bis in anno nulla est. 25 Sub tropico Cancri semel in anno nulla fit umbra meridiana, alias semper ad septentrionem flectitur. Inter tropicum Cancri et circulum arcticum habitantibus umbra meridiana semper ad septentrionem extenditur. Sub circulo arctico semel in anno dies viginti quattuor [A:28v] horarum, et nox unius instantis est. 26 Semel etiam nox viginti quattuor horarum, et dies unius instantis. Et umbra recta per horizontem circumquaque flectitur. Inter⁸ circulum arcticum et polum dies ***⁹, quam ***¹⁰ Sol in arcu zodiaci numquam occidente moratur. Et tantum ex ***¹¹. 27 Sub polo mundi sphaerae dimidium semper apparet. Et dimidium reliquum semper delitescit. Annique dimidium¹² continuatur dies, et reliquum nox continua, quoniam¹³ aequator ***¹⁴. In horizonte recto, quatuor signa punctis aequinoctialibus contigua aequales et minimas sortiuntur ascensiones. Quatuor autem sequentia aequales et mediocres habent ascensiones. 28 Quatuor demum in punctis solstitialibus contigua aequales et maximas¹⁵. In horizonte obliquo, duo signa uni puncto aequinoctii contigua, invicem aequales et minimas habent ascensiones. Duo autem sequentia invicem aequales et mediocres. Duo demum ad terminos solstitiorum desinentia invicem aequales et maximas habent ascensiones. Verum si conferantur signa opposita: illud, quod in semicirculo zodiaci ascendente, maiorem habet ascensionem. Duo signa opposita in quolibet horizonte habent ascensiones similiter iunctas aequales aggregato ascensionum rectarum suarum. 29 Arcus coalterni dierum ac noctium sunt invicem aequales. Periaeci, hoc est sub eodem parallelo constituti, habent eandem poli altitudinem, aequales signorum ascensiones, aequos arcus diurnos, aut nocturnos, aequales umbras, eandem aeris temperiem. Item ortuum et occa[A:29r]suum anticipationem secundum intervallum longitudinum. Sed in omnibus duobus horizontibus anticipatio meridiei fit per intervallum longitudinum. Antoeci, hoc est sub aequalibus et contrariis parallelis habitantes, habent aequales sed diversorum polorum altitudines. 30 Aequales in oppositis signis ascensiones. Aequales arcus sive diurnos, sive nocturnos, sed in oppositis locis. Aequales temporum dispositiones, sed in oppositis signis. Unde quando hi vernum illi autumnale tempus, quando aestivum hi, brumale tempus illi sortiuntur. 31 Antipodes, sive Antichthones, hoc est qui non solum aequales et contrarios parallelos, sed etiam loca diametraliter opposita inhabitant, conferuntur in omnibus, sicut Antoeci, nam Antoeci sunt. Verum habent eundem horizontem et diversa hemispheria. Unde quidquid oritur his, occidit illis. 32 Item quidquid stellarum semper apparet nobis, apud nostros Antoecos semper delitescit. Et e contrario. Notandum quod quidquid docet ac demonstrat Ptolemaeus in libro secundo, circa ascensiones, descensiones. Circa angulos zodiaci et circulorum altitudinis, omnia sequuntur ex scientia triangulorum sphaeralium, quam tradidere Theodosius et Menelaus.