Propositio 62^a

338 Omnis quantitas rationalis multiplicans binomium vel²⁹⁹ residuum producit etiam binomium vel residuum eiusdem speciei, ac multiplicato commensurabile.

Rationalis quantitas a multiplicet binomium bc et producat quantitatem de; aio quod de binomium est ipsi bc binomio commensurabile, et eiusdem speciei. Ut si, exempli gratia, bc sit binomium primum, tunc de erit binomium primum. 339 Sint enim ipsius bc binomii membra bc et ex a in b fiat d et ex a in c fiat e. Sic enim, per primam secundi, erit de totum, quod fit ex a in bc. Itaque cum bc sit binomium primum, erit per diffinitionem b maius membrum rationale atque c reliquum potentialiter tantum rationale. Cumque a rationalis in singulas bc quantitates faciat singulas de, [C:143r] iam per quadragesimam nonam huius, ipsa d erit rationalis, et ipsa e potentia tantum rationalis, et totum de toti bc commensurabile. 340 Item sit ipsius a quadratum f quod rationale erit, atque ipsarum bc quadrata sint gh. Mox f multiplicans ipsas gh producat ipsas kl eruntque per corollarium undecimae huius, kl quadrata ipsarum de. Cumque per primam sexti sit sicut g ad h sic k ad l erit eversim sicut g ad excessum, quo excedit ipsam h sic etiam k ad excessum, quo excedit ipsam l. 341 Verum g ad suum excessum est sicut numerus quadratus ad numerum quadratum per quinquagesimam secundam huius: quoniam per diffinitionem primi binomii b portio excedit c portionem potentialiter, excessu, cuius radix est commensurabilis ipsi b; qui excessus est differentia ipsarum gh, et perinde talis excessus se³⁰⁰ habet ad g sicut numerus quadratus ad numerum quadratum per quinquagesimam secundam. 342 Igitur k ad suum excessum se habebit sicut numerus quadratus ad numerum quadratum. [S:146] Quare per quinquagesimam tertiam ipsa d potentior erit quam e³⁰¹ excessu, cuius radix est commensurabilis ipsi d, cum ipsarum de potentiae sint kl. Itaque per diffinitionem totum de binomium primum est, ipsi iam bc commensurabile. Quod erat demonstrandum. 343 Similiter, pro binomio secundo [C:143v] et pro tertio procedemus. Et pro quarto et quinto et sexto ostendemus, quod maior portio potentior est minori in quadrato radicis sibi incommensurabilis³⁰²: syllogizantes per primam sexti, et per <pro>portionem <e>versam³⁰³. 344 Sed pro quinquagesima secunda et quinquagesima tertia adducemus duo corollaria sequentia, quae agunt de incommensurabilibus: quandoquidem in quarto, quinto et sexto binomiis, maior portio potentior est minori in quadrato radicis sibi incommensurabilis. Item pro tertio et sexto binomiis, in quibus portiones sunt potentia tantum rationales, ad ostendendam portionum ipsarum incommensurabilitatem, citabimus quadragesimam octavam huius. 345 Similiter, si a rationalis multiplicet residuum, cuius membra sunt bc et producat de ostendemus quod de est residuum ipsi bc commensurabile, et³⁰⁴ eiusdem speciei. Quod enim demonstratur de membris binomii, demonstratur de membris correlativi residui: quandoquidem in diffinitionibus sortiuntur easdem conditiones. Recte igitur idem de utroque proponitur demonstrandum.