Propositio 12^a

76 Duabus quantitatibus propositis, quarum quadrata tantum, vel cubi tantum, vel secunda quadrata tantum cognita supponuntur, alteram in alteram partiri.

[C:96r] Quoniam, per diffinitionem, quando multiplicantur invicem duae quantitates, productum ad multiplicatam est, sicut multiplicans ad positam; iam si multiplicans nunc sit dividens, ac productum sit divisum, erit multiplicata, quotiens; quandoquidem per diffinitionem divisa quantitas ad quotientem⁷⁸ est sicut dividens ad positam⁷⁹. 77 Itaque diviso producto in multiplicantem semper ex divisione provenit multiplicata⁸⁰. Quod cum ita sit, absolvemus problema per descriptionem penitus, ac suppositionem praecedentis propositionis. Sint igitur, sicut in praemissa, propositae quantitates ab quarum quadrata cd productum autem e et ipsarum cd productum f. Ostensum est ergo, quod f est quadratum ipsius e, quod scilicet f fit ex ductu c in d. 78 Igitur ex divisione ipsius f in ipsam c proveniet ipsa d, quod est quadratum ipsius b provenientis ex divisione ipsius e in ipsam a. Sit igitur, exempli gratia, dividenda quantitas e dividens autem a, et offerantur harum quadrata tantum, scilicet f quadratum dividendae e atque c quadratum dividentis a. Dividam ipsam f in ip [S:97] sam c et proveniet d⁸¹ quadratum scilicet ipsius b quotientis; quoniam scilicet ex divisione producti in multiplicantem, provenit multiplicata. 79 Item quoniam ex multiplicatione ipsarum [C:96v] gh quae sunt secunda quadrata ipsarum ab producitur k secundum quadratum ipsius e producti ex ipsis ab; iam similiter si pro dividenda⁸² quantitate e offeratur secundum eius quadratum k⁸³ et pro dividente a proponatur secundum eius quadratum g tunc dividam ipsam k in ipsam g et proveniet h secundum quadratum ipsius b quotientis. Nam ex divisione producti in multiplicantem prosilit multiplicata. 80 Demum quoniam ex multiplicatione cuborum lm qui scilicet sunt cubi ipsarum ab producitur n cubus ipsius e producti primarii; non aliter si pro quantitate e partienda⁸⁴ detur eius cubus n et pro dividente⁸⁵ a ponatur eius cubus l tunc partiar cubum ipsum n in ipsum l et proveniet m cubus ipsius b quotientis. Namque productum in multiplicantem divisum exhibet multiplicatam. Nec secus faciendum pro tertiis, ac sequentibus quadratis, quousque processerit curiositas. 81 Quod si divisor, aut dividendus numerus ita offerantur, ut alter per se notus sit, alterius vero tantum potentia vel cubus, vel secundum quadratum cognitum proponatur; tunc par dignitas capienda est numeri per se cogniti, ut scilicet vel quadratum in⁸⁶ quadratum, vel cubum in cubum, vel secundum quadratum in secundum quadratum, vel dignitatem quamvis in parem⁸⁷ dignitatem [C:97r] partiaris; sicut in multiplicatione factum est. Sic enim et demonstratio dudum explicata locum habet, et quaestio finem.

COROLLARIUM

82 Ex quibus manifestum est, quod⁸⁸ ex divisione quadrati in quadratum, sive cubi in cubum, sive secundi quadrati in secundum quadratum semper provenit quadratus, seu cubus, seu secundus quadratus illius quotientis quod ex divisione radicis in radicem, quarum sunt quadrata, vel cubi; vel secunda quadrata proveniebat. Quod corollarium sequitur similiter ex praecedentis corollario, sicut propositio ex propositione nascebatur, per ipsas multiplicationis et divisionis diffinitiones.