Propositio 13^a

83 Propositarum duarum quantitatum per potentias cognitas, aut per cubos tantum datos, congeriem aut excessum vestigare.

Sunto⁸⁹ duae quantitates ab quarum quadrata cd tantum⁹⁰ cognita sint. Volo earum congeriem pronuntiare. Per undecimam huius, multiplico a in b per nota ipsarum quadrata cd et proveniat e; huius [S:98] duplum sit f. 84 Sumo igitur aggregatum ipsarum cdf; [C:97v] dico enim quod tale aggregatum est quadratum congeriei quaesitae. Nam per quartam secundi Elementorum, aggregatum ex duobus quadratis, duploque producti radicum, quarum sunt quadrata, conficiunt quadratum congeriei radicum. Item sunto duae quantitates ab quarum maior b et earum quadrata sint cd. Volo subtrahere ipsam a ab ipsa b. 85 Per undecimam huius, multiplico a in b per earum potentias cd et proveniat e. Huius duplum sit f quod subtraho ab aggregato ipsarum cd et residuum sit g. Dico igitur, quod g est⁹¹ quadratum eius quantitatis, quae relinquitur post subtractionem ipsius a ab ipsa b. Nam per septimam secundi Elementorum, quadratum quantitatis, a qua fit subtractio, una cum quadrato subtractae, sumptum aequale est quadrato residui una cum duplo eius, quod fit a tota in subtractam. 86 Quamobrem si tale duplum subtrahatur ab aggregato quadratorum totius et subtractae, superest quadratum residui. Ubi notandum est, quod quando duae quantitates propositae sunt invicem commensurabiles, tunc, quoniam ipsae sunt eiusdem speciei, et earum tam congeries, quam excessus⁹² est et eiusdem speciei quantitas. 87 Exempli gratia, si propositae quantitates sint potentia tantum rationales invicem commensurabiles, tunc earum tam congeries quam differentia erit [C:98r] quantitas unius nominis potentia tantum rationalis. Si autem propositae quantitates singulae sint unius speciei binomia, et perinde commensurabiles, tunc earum tam congeries, quam differentia erit eiusdem speciei binomium. Et similiter de reliquis irrationalium speciebus dicendum. 88 Quae omnia et in decimo Elementorum demonstrantur, et calculo practico comprobantur. Sed regulae in hac propositione assignatae quantitatibus potentia rationalibus tantum usu veniunt, non et iis, quarum cubi tantum, aut quarum secunda quadrata tantum cognita offeruntur. Sed pro universis quantitatibus tam potentia tantum, quam cubo tantum, quamque secundo quadrato, vel quotacunque potentia tantum cognitis dabimus hic unicam et auream regulam, quam hic simul trademus et demonstrabimus. 89 Sit a magnitudo posita, quae denominatur ab unitate, bc duae magnitudines datae. Sit d quadratum ipsius b et e quadratum ipsius c. Item f cubus ex b et g cubus ex c. Et tunc si secetur c in b et proveniat h. Item e in d et proveniat k. Item g in f et proveniat l; erunt iam sicut abd<f⁹³> et sicut ipsae aceg ita et ipsae ahkl per diffinitionem quadratorum, et cuborum, et per diffinitionem divisionis, continue proportionales. Quare per diffiniti [C:98v] onem h radix, k [S:99] quadratum, et l cubus talis radicis⁹⁴ erunt. 90 Quibus consideratis, si velim aggregare quantitates bc per earum quadrata de vel per earum cubos fg ponam m aequalem aggregato⁹⁵ ipsarum ah et faciam n quadratum ipsius m et eiusdem m cubum o. Mox ducam d in n et proveniat p. Item ducam f in o et proveniat q. Aio tunc, quod p erit quadratum totius bc quodque q erit cubus eiusdem bc totius. 91 Et sic habeo tam per quadratos, quam per cubos aggregatum ipsarum bc, hoc est habeo tam quadratum, quam cubum talis aggregati, quando aliter in notitiam non venit. Atque ita deinceps fiet per secunda et quotacunque quadrata; quod sic ostenditur. Cum per diffinitionem divisionis sit sicut c⁹⁶ ad b sic h ad a erit coniunctum totum cb ad ipsum b sicut totum ha ad ipsum a hoc est cb ad ipsum b sicut m ad a. 92 Quare per decimam quintam sexti Euclidis, quod fit ex a in bc hoc est⁹⁷ ipsum aggregatum bc aequale erit ei,quod fit ex b in m. Itaque cum ex b in m hoc est ex radice in radicem producatur totum bc, iam per corollarium undecimae huius, ex d in n hoc est ex quadrato in quadratum producetur quadratum totius bc quod fuit p [C:99r] et ex f in o hoc est ex cubo in cubum producetur cubus totius bc qui fuit q; quod erat demonstrandum. 93 Et similiter per eadem omnino, id ipsum ostendetur de secundis quadratis, caeterisque dignitatibus magnitudinum. Quod si velim subtrahere quantitatem b de tota bc per quadrata earum d et p, tunc dividam quadratum ipsius bc scilicet ipsam p per quadratum ipsius b scilicet per ipsam d; et proveniet ex iam demonstratis ipsa n cuius radix quadrata est m; a qua subtraho a unitatem et supererit h cuius quadratum scilicet ipsam k duco in d quadratum scilicet ipsius b subtrahendae; et proveniet e quod est⁹⁸ quadratum ipsius c quae⁹⁹ superest post subtractionem ipsius b a tota bc. 94 Sic per quadrata subtractae et eius a qua fit subtractio, habeo quadratum relictae. Eadem quoque subtractio fiet per cubos quantitatum scilicet per f et q sic. Dividam cubum ipsius bc scilicet q in cubum ipsius b scilicet f et proveniet ex demonstratis ipsa o cuius radix cubica est m. De qua minuo a unitatem et relinquetur h cuius cubum l duco in f cubum ipsius b subtrahendae; et proveniet g cubus ipsius c relictae post dictam ac propositam subtractionem. 95 Et per eandem id ipsum in secundis quadratis caeterisque deinceps eveniet. Quae quidem regula, quoniam communis est universis in infinitum quantitatum [C:99v] dignitatibus, a nemine hactenus animadversa, et demonstrata, merito aurea fuit appellanda.