Propositio 11^a

64 Duas quantitates propositas, quarum vel quadrata tantum, vel cubi tantum, vel secunda quadrata tantum cognita supponuntur, invicem multiplicare.

[C:94r] Sunto duae quantitates ab quarum quadrata cd tantum cognita supponuntur; si iubear a in b multiplicare, id faciam per quadrata. Sit enim ipsarum ab productum e quod cum rationale non sit, existentibus ab invicem incommensurabilibus, et perinde non semper possit exprimi numero; quaerendum est per eius quadratum, quod semper rationale est, sic. 65 Multiplico, per octavam huius, c in d et proveniat f. Aio igitur, quod f est quadratum producti quaesiti hoc est ipsius e; quod sic ostendo. Quoniam a multiplicans se ipsam facit c et multiplicans ipsam b facit e, erit ideo, per primam sexti Euclidis, sicut a ad b sic c ad e. Et similiter quoniam b multiplicans se ipsam facit d et multiplicans ipsam a facit e erit sicut a ad b sic e ad d. 66 Igitur ced⁶⁵ sunt continue proportionales. Quare per decimam quintam sexti, quod fit ex c in d scilicet f aequum est quadrato quod ex e; quod erat demonstrandum. Si contingat igitur ipsum f productum esse quadratum [S:95] numerum, quod tunc fit, quando ab sunt invicem commensurabiles, tunc ipsum e productum rationale est, quandoquidem tunc quadrati numeri f radix est. 67 Ponantur nunc ipsarum ab quantitatum quadrata secunda tantum rationalia hoc est cognita per nu [C:94v] meros, quae sint g et h ut scilicet g sit quadratum ipsius c atque h sit quadratum ipsius d⁶⁶. Rursum nunc per isthaec secunda quadrata vestigabo productum ipsarum ab sic: multiplico g in h per octavam huius, et proveniat k. Dico itaque quod k est quadratum secundum ipsius e producti; hoc est, quadratus ipsius f; quod sic ostendo. 68 Cum enim c in se faciat g et c in d faciat f erit, per primam sexti, sicut c ad d sic g ad f. Et similiter quoniam d in c facit f et d in se facit h, ideo sicut c ad d sic f ad h. Ergo gfh sunt continue proportionales. Quare per decimam quintam sexti, quod fit ex g in h scilicet k est aequum quadrato ipsius f; quod erat ostendendum. Id idem quoque haud difficilius ostendemus de tertiis, quartis, et quotiscunque quantitatum quadratis in infinitum. 69 Nam quota sunt quadrata quantitatum multiplicantium, productum ex quadratis, totum quadratum erit a quadrato producti multiplicantium. Quod etiam ostendit Campanus in fine decimi Elementorum. Hoc itaque⁶⁷ pacto multiplicantur ad invicem quantitates potentia tantum rationales, vel mediales primae, vel cuiuscunque ordinis. Veniam nunc ad quantitates cubo⁶⁸ tantum rationales, hoc est, quarum solum cubi [C:95r] supponuntur cogniti, quamvis de his nihil Euclides. 70 Sunto, ut prius propositae⁶⁹ quantitates ab quarum productum fuit e et quarum quadrata cd et eorum productum f. Ducatur a in c et fiat l; item b in d et fiat m; eruntque per diffinitionem lm cubi quantitatum⁷⁰ ab per quos cubos quaerimus nunc productum ipsarum ab scilicet ipsum e. 71 Multiplico igitur l cubum in m cubum, et proveniat n. Aio nunc, quod n⁷¹ numerus est cubus ipsius e hoc est, quod ipsum e productum quaesitum est, radix cubica ipsius n. Quod sic ostendam. Cum ex a in b fiat e et ex a in c fiat l erit per primam sexti, sicut b ad c sic e ad l. Item cum ex d in b fiat m et ex d in c fiat f erit similiter sicut b ad c sic iam et m ad f. 72 Quare fiet sicut m ad f sic e⁷² ad l. Et ideo, per decimam quartam sexti, numerus n⁷³ qui fit ex l in m aequalis ei, quod fit ex e in f hoc est cubo ipsius e, qui videlicet fit ex e in suum quadratum f⁷⁴ per diffinitionem.⁷⁵ Igitur e est radix cubica⁷⁶ ipsius n. Quod fuit demonstrandum. Hac via multiplicandae sunt quantitates cubo tantum cognitae. 73 Quando autem una quantitatum multiplicandarum cognita per se proponitur, alterius autem vel quadratum, vel cubus, [S:96] vel secundum quadratum tantum cognitum offertur; tunc capiendum est similiter quadratum, vel cubus, vel secundum [C:95v] quadratum quantitatis per se cognitae, et deinde quadratum in quadratum, sive cubus in cubum, sive secundum quadratum in secundum quadratum multiplicandum est, et sic deinceps pro tertiis, aut quotiscunque quadratis. Sic et demonstratio dudum memorata procedet, et propositum absolvetur.

COROLLARIUM

74 Unde manifestum est, quod ex ductu quadratorum, sive cuborum, sive secundorum quadratorum, aut sequentium semper producitur quadratum, sive cubus, sive quadratus secundus producti ex multiplicatione radicum, quarum sunt⁷⁷ quadrata, seu cubi, seu secunda, vel sequentia quadrata. 75 Quae omnia, sicut iam demonstrata sunt, ita per arithmeticam praxim tam in quantitatibus rationalibus, quam potentia, sive cubo tantum rationalibus, sive medialibus, sive duorum pluriumve nominum, supputando comprobantur, quemadmodum in Arithmeticis quaestionibus per exempla tradidimus.