[S:167]

Propositio 105^a

455 Si minor portio quantitatis secundum extremam mediamque rationem divisae fuerit rationalis, maior³⁹⁷ erit binomium quintum.

Sit quantitas fg ut proponitur divisa in partes fh hg ponaturque minor portio gh rationalis³⁹⁸. Dico tunc, quod fh maior portio erit binomium quintum. Ponatur enim quantitas kl similiter divisa in km ml cuius maior portio km sit rationalis, eritque per praecedentem, lm reliqua portio residuum quintum. 456 Sed propter similem proportionem sicut lm ad ipsam mk sic gh ad ipsam hf. Ergo per decimam quintam sexti, quod fit ex lm hf aequale est ei, quod fit ex mk gh. Rationale autem, quod ex mk gh quandoquidem ipsae rationales. Igitur quod ex lm hf rationale est. Sic ergo lm residuum quintum multiplicans ipsam hf producit quantitatem rationalem. Quare per septuagesimam septimam ipsam, hf multiplicata quantitas erit binomium quintum; quod ostendendum proponebatur.

Corollarium

457 Hinc manifestum est, quod si tota linea sic divisa, sive [C:162r] utralibet portionum ponatur potentia tantum rationalis, adhuc portiones erunt, quae dictae sunt irrationales, scilicet residua, et binomium. Nam si duae lineae, una rationalis, et altera potentialiter tantum rationalis, sic divisae fuerint propter proportionem eandem; portiones huius, portionibus illius per quadragesimam octavam commensurabiles potentialiter erunt: et idcirco per sexagesimam septimam eiusdem generis cum illis. 458 Similiter si portio maior illius rationalis, ac portio maior huius potentia tantum rationalis ponatur,³⁹⁹ tunc reliquae portiones erunt residua. Si vero minor portio illius rationalis, ac minor huius potentia tantum rationalis sit, tunc maiores binomia erunt: sicut infert corollarium.