PROPOSITIO XXXVII.

Sector sphaericus aequalis est pyramidi, cuius basis aequalis est basi sphaericae sectoris, celsitudo vero semidiametro sphaerae.

Sit sector sphaericus A, pyramis autem P habeat basim aequalem sphaericae basi sectoris A, celsitudinem autem semidiametro sphaerae, cuius est sector A. Aio quod pyramis P aequalis est [S:84] ipsi A sectori: sit enim conus M, cuius basis aequalis sit sphaericae basi sectoris A, celsitudo vero semidiametro sphaerae: eritque per 2. corollarium 33. huius, pyramis P aequalis cono M. Sed conus M per 30. aequalis est sectori A: igitur et pyramis P aequalis est sectori A: quod erat propositum.

COROLLARIUM I.

Unde manifestum est quod prisma, cuius basis aequalis est sphaericae basi sectoris sphaerici, celsitudo autem aequalis semidiametro sphaerae est triplum ipsius sectoris: quandoquidem per 8.12. tale prisma triplum est suae pyramidis, quae aequalis est sectori. Quare prisma, cuius basis aequalis est sphaericae basi sectoris sphaerici, celsitudo autem tertia pars semidiametri sphaerae, aequale est sphaerico sectori dicto.

Et quoniam basis sphaerica sectoris sphaerici per corollarium 16. huius, aequalis est circulo, cuius semidiameter est recta, quae a vertice segmenti sphaerici ad peripheriam basis; hic autem circulus per 4. de dimensione circuli, aequalis est rectangulo contento sub sua semidiametro, et dimidio peripheriae. Ideo parallelepipedum solidum, cuius basis est dictum rectangulum, celsitudo vero tertia pars semidiametri sphaerae aequale est dicto sectori sphaerico.

COROLLARIUM II.

Manifestum est ergo quod ex ductu semidiametri sphaerae in basim sphaericam sectoris sphaerici producitur triplum sectoris. Ex ductu vero tertiae partis semidiametri in dictam basium producitur sector ipse.