42^a Si hyperbole, vel ellipsi, vel circulo, vel contrapositis ab extremis diametri ducantur ordinate applicatae: et alia quaedam ut contingit tangens sectionem agatur; tangens abscindet ab applicatis lineas, sub quibus contentum tetragonum est quadrans speciei diametro adiacentis.

281 Sit enim quaevis dictarum sectionum be. // Cuius diameter ab. // Centrum z. // Ad extrema diametri applicatae ag bd. // Tangens ged. // Punctum tactus e. // Dico iam quod ag bd quadrans est speciei ad ab. // Nam, si zh coniugata ipsi ab diametro in ellipsi et circulo per e punctum it: tunc, per additam 32^ae primi, aequidistabit dg ipsi ab et perinde ag zh bd sunt aequales quare tunc ³⁸⁷ ag bd est ipsum zh³⁸⁸ quod est quadrans speciei ad ab quandoquidem per 13^am vel 15^am primi Conicorum, tota diameter, quae [A:90r] dupla est ipsius zh possit³⁸⁹ totam speciem diametri ab. 282 // Quare tunc manifesta est propositio. // Sed iam zh non veniat per e punctum tunc autem per 24^am et 25^am primi Conicorum, deg tangens coincidet ba diametro. // Coincidat ad c. // Et zh concurrat tangenti apud t. // Sintque el ipsi zh. // Et em ipsi ab aequidistantes. // Quibus peractis, quoniam, per 37^am primi Conicorum, czl aequale est az. Ideo per 15^am sexti Euclidis erit, ut cz za sic za zl. 283 // Et conversim, ut az zc sic lz za. // Et coniunctim, ut ac cz sic la az sive zb. // Et permutatim³⁹⁰, ut ca al sic cz zb. // Et rursus conversim, ut la ac sic bz zc. // Et rursus coniunctim³⁹¹ ut lc ca sic bc cz. // Propter similitudinem autem triangulorum est ut lc ca sic le ag. // Utque bc cz sic bd zt. 284 Igitur ut bd zt sic el ga. // Quare, per 15^am sexti Euclidis bd ga aequale est zt el hoc est tzm. // Sed, per 38^am primi Conicorum tzm aequale est zh hoc est quadrans³⁹² speciei ad ab. // Ergo et bd ga quadrans est eiusdem speciei. // Quod fuit demonstrandum.