Lemma I

142 Sit linea ab in quatuor portiones sic divisa, ut, extremae ag, bd sint aequales: mediae ge, ed quantecumque. Dico iam quod ged agb pariter sumpta aequalia sunt aeb. // Nam per primam secundi Euclidis ag, eb hoc est ebd cum geb simul aequale est¹⁹⁹ aeb. 143 // Item, per eandem, ag ed quod est edb cum ag db quod est quadratum utriusvis aequale est²⁰⁰ ag eb sive ebd. // Nec non ge db sive age cum ged simul aequale est ^lo geb. // Igitur quatuor rectangula videtur^{201 202} ag db ag ed age ged simul sumpta aequalia sunt aeb. 144 // Verum per eandem primam 2ⁱ agb aequale est tribus ^lis videlicet ²⁰³ ag db ag ed age. // Ergo pro tribus uno posito fiet agb cum ged aequale aeb. // Quod erat ostendendum.

agb vel gbd ag db ag eb vel ebd aeb ag ed vel edb age vel ge db geb ged

²⁰⁴

Lemma II

145 Item sit linea ab in ternas portiones sic divisa, ut earum extremae ag, db sint aequales: media gd quantacumque: et extremarum altera bd utcumque divisa apud e. //Hoc est, ut prima quatuor portionum ag sit aequalis postremis de, eb. //Dico iam quod aeb aequale est sumptum cum ged ipsi adb. 146 // Nam per primam 2ⁱ Euclidis adb aequale est ade et ad be quod est gbe simul sumptis. //Item ade aequale est ag de quod est edb et gde pariter iunctis. //Nec non ad eb sive gbe aequale est ag eb quod est dbe et gd eb coniunctis. //Igitur   adb²⁰⁵ aequale est quatuor rectangulis, videlicet   ag de quod est edb gde ag eb quod est dbe et gd eb similiter aggregatis. 147 // Verum primum ex his²⁰⁶ scilicet ag de quod²⁰⁷ est edb per 3^am 2ⁱ Euclidis aequale est de et deb. //Ergo adb aequale erit quinque rectangulis per²⁰⁸ primam 2ⁱ scilicet de²⁰⁹ deb gde ga eb gd eb. // Sed duo ex his, scilicet de et gde simul aequalia sunt ged. 148 Tria vero reliqua deb ag eb gd eb simul sunt aequalia aeb. //Igitur aeb cum ged aequatur adb. //Quod proponitur ostendendum.

gde ged adb ade ag de <vel> edb ed   deb aeb ad be <vel> gbe ag eb <vel> dbe gd eb

²¹⁰

149 [A:77v] 24^a Si in contrapositis ad coniunctionem a centro ducantur ad sectiones duae lineae, et dicatur²¹¹ ipsarum altera transversa diameter, altera recta: et agantur quaedam penes diametros coincidentes invicem et sectionibus: sitque actarum coincidentia in loco, qui est inter quatuor sectiones; contentum sub sectionibus aequidistantis lateri transverso cum eo (ad quod rationem habet, quod est sub segmentis aequidistantis recto, eam quam, [S:104] quod fit ex recta ad quadratum, quod fit ex transversa) aequale erit tetragono, quod bis sit ex dimidio transversi.

150 Sint contrapositae ad coniunctionem a, b, g, d. // Quarum quidem centrum e. // Transversa diameter aeg. // Recta autem²¹² deb. // Ipsi aeg aequidistans zhxticl²¹³. //Ipsique deb aequidistans mnxotpr²¹⁴ coincidentes apud x. //Sitque in prima descriptione punctum x intra angulum sef. 151 //Dico iam quod zxl cum rectangulo, (ad quod rationem habet ^lum mxr quam db ag) aequale est ²¹⁵ ae. //Cum enim sa aequale sit de per 21^am 2ⁱ eadem erit ratio ²¹⁶ saf ea et de ea. 152 //Ratio autem ²¹⁷ saf ea et ideo ratio de ea componitur quidem

ex rationibus sa ae vel nx xt fa ae vel px xc

ex quibus componitur ratio pxn   ***²¹⁸ propter similitudinem triangulorum. Igitur sicut de ea sic pxn cxt

et similiter sic pxn [[cxt]] de [[ea]] 219 .

153 Sed per 11^am secundi Conicorum de aequale est pmn hoc est rnm. Itemque ea aequale est czt hoc est ltz. Namque per 8^am et 16^am 2ⁱ ipsae mn pr sunt aequales: ipsaeque lc tz aequales.

154 Ergo, sicut de ea sic pxn cxt rnm ltz hoc est czt

aequale autem est per primum lemmatum praecedentium pxn rnm simul rxm .

155 //Itaque sicut de ea hoc est sicut db ag

sic est rxm cxt ltz 220 simul.

Demonstrandum est igitur quod [A:78r] zxl cxt czt similiter aequalia sunt 221 ea.

//Et ablatis utrinque iam czt ²²² ea invicem aequalibus.

Restat demonstrandum quod zxl cxt similiter aequalia sunt to ea.

156 // Sunt autem: quoniam scilicet per secundum lemmatum praemissorum,

ipsa zxl cxt similiter aequalia sunt lo ltz hoc est czt quod est223 ae.

//Verum ergo est, quod proponitur demonstrandum.

// Coincidant utique in secunda descriptione, zl mr uni nontangentium apud t. 157 // Eritque per 11^am secundi Conicorum ztl aequale ^to ae. Itemque mtr aequum de. //Et ideo, sicut de ae hoc est, sicut db ag sic mtr ztl. //Quare ztl cum ipsomet ztl aequum²²⁴ ae. // Id scilicet quod proponitur si attendis, in principio demonstrandum. //

158 Sit demum in tertia descriptione, punctum x intra angulum sey vel fek. //Eritque, ut in primo casu, ex memorata rationum compositione. Sicut de ea sic pxn cxt. //Sed, per 11^am 2ⁱ de aequale est pmn hoc est rnm. //Itemque ae aequale ltz. 159 //Igitur sicut rnm ltz totum scilicet ad totum, sic pxn cxt (cum videlicet, per secundum lemmatum, rxm cum pxn aequum sit²²⁵ rnm) ablatum ad ablatum. 160 //Quare et reliquum ad reliquum, hoc est ipsum, rxm excessum quo ltz (quod est ae) maius est ^lo cxt erit sicut totum ad totum, hoc est, sicut rnm ltz et ideo sicut de ea id est, sicut db ag. [S:105] //Demonstrandum igitur, quod zxl cum praedicto excessu, aequale est ²²⁶ ae. 161 //Cum autem, per primum lemmatum, ltz cum cxt aequale sit lxz. //Auferantur hinc ae inde vero ltz iampridem aequalia. //Et restat ostendendum quod ipsum cxt cum excessu memorato aequale est ^to ae. //Est autem, quoniam cxt cum tali excessu aequale fuit ltz et perinde ipsi ae. //Verum igitur quod proponebatur demonstrandum.