[A:75v] 121 22^a Si contrapositas duae lineae aequidistantes tangant: ducantur autem quaedam lineae secantes invicem et sectiones, altera quidem penes tangentem, altera vero penes¹⁸¹ tactus coniungentem; erit, ut transversum latus speciei (quod aequidistat iungenti tactus) ad rectum; sic contenta sub se invicem secantium segmentis ab incidentia receptis ad periferias sectionum.

122 [S:101] Sint contrapositae a, b. // Tangentes paralleli ag, bd. // Et coniungatur ab. // Ipsa autem exh aequidistans ab. // Et ipsa cem aequidistans ag secantes se invicem apud e et sectionum periferiis incidentes apud e, h, c, m¹⁸². // Dico iam quod est, ut ab transversa diameter ad rectum speciei latus, sic hex cem. 123 // Nam quod ab coniungens tactus eat per centrum sectionum, patet per conversam additae post 43^am primi Conicorum, vel 31^ae secundi vel per corollarium postremum dictae additae. // Ducantur itaque per h, x puncta penes ag hz¹⁸³, xn et perinde ordinatae ad ab diametrum, cui cm incidat apud l iampridem similiter applicata. 124 // Eruntque per 47^am primi Conicorum cl, lm aequales. // Et ideo, per per 5^am 2ⁱ Euclidis erunt cem et le simul aequalia lc. // Item, posito t centro sectionum, erunt, per 16^am primi Conicorum ipsae tz, tn invicem aequales, et perinde, ipsae bz, an invicem aequales. 125 // Et ideo, sicut mox in scholio demonstrabitur; bna et zln simul sunt aequalia bla. // Itaque, quoniam per 21^am primi Conicorum, sicut ab transversa diameter ad rectum latus speciei, sic bla lc totum scilicet ad totum; et sic bna nx quod est¹⁸⁴ le ablatum scilicet ad ablatum. 126 // Erit, per 19^am quinti Euclidis zln cem reliquum ad reliquum, sicut bla lc totum ad totum: et iam sicut ab transversa diameter ad rectum latus. // Aequale est autem hex ^lo zln propter aequalitatem oppositorum laterum in parallelogrammo. // Igitur et hex cem sicut¹⁸⁵ ab transversa ad rectum speciei latus. // Et hoc erat demonstrandum.

Scholium

[A:76r]

127 Ponatur linea zl sic divisa in quatuor segmenta: ut ipsa zb an uno intermisso ab sint aequalia:ipsa autem segmenta ba nl quantacunque. // Demonstrandum est quod bna et zln simul sunt aequalia bla hoc modo. // Nam, per primam secundi Euclidis bna et bnl simul sumpta aequalia sunt bn al. // Et per eamdem bn al cum aln conficit bla. 128 // Quam ob rem tria rectangula, scilicet bna bnl aln conflabunt ^lum bla. // Sed, per eamdem primam 2ⁱ Elementorum (quoniam lineae bn, al faciunt lineam zl) bnl aln simul accepta integrant zln. // Ergo et zln cum bna similiter aequalia erunt bla. // Quod restabat ostendendum.

bna bn al bla zln bnl aln

Additio

129 Si in una contrapositarum ad coniunctionem sectione duo puncta relicta sint: et ab ipsis binae hinc et binae inde aequidistantes lineae penes tangentes collateralium duarum sectionum ad diametros per tactuum puncta deductas permutatim applicatae producatur; facta a productis ad diametros quadrilatera aequalia invicem erunt.

130 Sint contrapositae sectiones ad coniunctionem a, s, k, x. // In quarum una s duo puncta s relicta sint. // Tactuum puncta a, k. // Per quae diametri atz¹⁸⁷ kty. // Et ad ipsam atz diametrum ducantur penes tangentem apud k ipsae¹⁸⁸ sz // Ad ipsam autem kty diametrum, agantur penes tangentem apud a ipsae sqy¹⁸⁹. 131 // Sic enim fiet, per 16^am et 47^am primi Conicorum, ut ipsae sz ad ipsam quidem kty diametrum et [S:102] vicissim ipsae sqy ad ipsam atz diametrum ordinate applicatae sint. // Dico itaque quod z aequale est ys. 132 // Nam, ductis ad easdem diametros penes ipsas sz diametro quidem¹⁹⁰ xth quae per 20^am secundi Conicorum coniugata est ipsi kty diametro, quandoquidem tangenti apud k aequidistat. Itemque hi penes¹⁹¹ ipsam sy.// Iam ex demonstratione 15^ae huius: ut in corollario ipsius concluditur,   sztq aequum erit ipsi   qhiy. Itemque, per idem corollarium t aequale erit ipsi hi. // 133 Verum¹⁹² primis duobus, communi apposito q fiet h i aequum zq et q simul¹⁹³. // Et ideo t aequale iisdem zq q. // Commune auferatur zt¹⁹⁴. // Et supererit z aequale iam ipsi ys. // Quod scilicet proponebatur demonstrandum. 134 Et manifestum est, quod communi apposito t t ts aequalia erunt¹⁹⁵.