[A:23r] 41^a Si in hyperbola, vel ellipsi vel circuli periferia linea applicetur ordinate ad diametrum: et ab applicata, nec non ab ea, quae ex centro describantur bina parallelogramma aequiangula: habeatque applicatum latus ad reliquum speciei⁵²² latus compositam rationem ex ea, quam habet, quae ex centro ad reliquum speciei⁵²³ latus, et ex ea, quam habet rectum speciei sectionis latus ad transversum. Tunc species⁵²⁴, quae⁵²⁵ sit, ex ea, quae inter centrum et applicatam, similis ei speciei, quae⁵²⁶ ab ea, quae ex cen[S:33]tro, in hyperbola quidem maior est ea specie, quae sit ex applicata, excessu aequali ei speciei, quae sit ab ea, quae⁵²⁷ ex centro: in ellipsi vero et circuli periferia, cum ea specie, quae⁵²⁸ sit ab applicata, aequalis⁵²⁹ est ei speciei, quae⁵³⁰ sit ab ea, quae ex centro.

Sit hyperbole, ellipsis vel circulus: cuius diameter ab. // Centrum e. // Ordinate ducta gd. // Et ab ipsis ea gd aequiangulae⁵³¹ species⁵³² describantur az dh⁵³³ hac conditione,

ut ratio gd gh composita sit ex rationibus ae ez rectae transversam .

// Dico iam quod in hyperbola, species, quae⁵³⁴ sit ex ed similis⁵³⁵ ipsi az

aequalis est speciebus536 az dh .

//

In ellipsi autem et circulo, quod sit ex ed simile ipsi az cum ipso hd aequale est ipsi az.

// Sit enim dg gt sicut recta transversam.

// Et quoniam dg gt sicut⁵³⁷ dg dgt per primam 6ⁱ Euclidis. // Et per 21^am huius ut recta transversam sic dg bda. // Ideo bda aequum est dgt.

// Et quoniam per hypothesim ratio dg gh componitur

ex rationibus ae ez rectae transversam vel dg gt .

[A:23v]

// Ratio autem dg gh componitur ex rationibus dg gt gt⁵³⁸ gh.

// Ideo, ablata utrinque ratione dg gt.

Superest ratio ae ez aequalis rationi gt gh.

// Sed per primam 6ⁱ Euclidis sicut gt gh sic tgd hgd et sicut ae ez sic ae aez.

// Fuitque tgd aequale bda.

// Igitur bda hgd sicut ae aez.

// Et permutatim bda ae sicut hgd aez.

// Sed hdg aez sicut species⁵³⁹ dh speciem⁵⁴⁰ za aequiangula⁵⁴¹ enim habent rationem compositam ex lateribus.

// Ergo bda ae sicut species⁵⁴² dh speciem⁵⁴³ za.

// Et in hyperbola coniunctim bda una cum ae hoc est per 6^am 2ⁱ Euclidis ed ae erit sicut aggregatum specierum⁵⁴⁴ dh za speciem⁵⁴⁵ za.

// Ut autem ed ea sic species⁵⁴⁶ ex ed similis⁵⁴⁷ et similiter descripta⁵⁴⁸ ipsi az ad speciem ipsam⁵⁴⁹ az. // Quandoquidem sunt in dupla ratione laterum.

// Quare sicut aggregatum specierum⁵⁵⁰ dh za speciem⁵⁵¹ za sic species⁵⁵² ex ed similis⁵⁵³ et similiter descripta⁵⁵⁴ ipsi az speciem ipsam⁵⁵⁵ za.

// Et ideo per 9^am 5ⁱ Euclidis species⁵⁵⁶ ex ed similis⁵⁵⁷ ipsi az aequalis⁵⁵⁸ erit aggregato speciorum⁵⁵⁹ dh za in hyperbola.

// Autem in ellipsi⁵⁶⁰ et circulo, conversim, disiunctim et permutatim⁵⁶¹. // Excessus, quo ea superat bda qui excessus, per 5^am 2ⁱ elementorum Euclidis

de ⁵⁶² excessus, quo species⁵⁶³ az superat speciem⁵⁶⁴ dh erit sicut ea speciem az.

// Sed ae speciem az sicut de speciem⁵⁶⁵ ex de similem⁵⁶⁶ ipsi az. quandoquidem similium specierum⁵⁶⁷ super iisdem lineis descriptorum eadem ratio⁵⁶⁸.

// Igitur excessus, quo az species⁵⁶⁹ superat dh speciem⁵⁷⁰, aequale erit speciei⁵⁷¹, ex de simile ipsi az per 9^am 5ⁱ Euclidis quandoquidem ad dictum excessum, dictamque speciem⁵⁷², [A:24r] ipsum de unam habet rationem.

// Quamobrem, species⁵⁷³ ex de similis⁵⁷⁴ ipsi az una cum specie⁵⁷⁵ dh aequalis⁵⁷⁶ erit speciei⁵⁷⁷ az in ellipsi et circulo: quemadmodum proponitur demonstrandum⁵⁷⁸.