PROPOSITIO VII

72 Omnis circulus maior in sphaera signatus transit per centrum sphaerae et circulorum minorum aequalium aequales sunt a centro sphaerae longitudines, minoris autem eorum maior erit longitudo.

73 In eadem descriptione sit in sphaera ab circulus ab maior: aio quod transit per centrum sphaerae. 74 Nam si non transeat per centrum sphaerae, tunc ille circulus qui transierit per centrum sphaerae erit maior circulo ab per praecedentem, quod est contra hypothesim. 75 Nam circulus maior intelligitur is quo in eadem sphaera signat<us> nullus maior existit. Omnino igitur circulus <a>b transit per centrum sphaerae. 76 Deinde sint circuli cd ef in eadem sphaera signati aequales: aio quod eorum longitudines a centro hc he sunt aequales. 77 Nam secus, circulus cuius longitudo fuerit maior, per praemissam erit minor, quod est contra hypothesim: aequales ergo erunt longitudines. 78 Demum sit circulus ef minor circulo cd: aio quod longitudo he maior erit longitudine hc. 79 Secus enim erit autem aequalis, et tunc per praemissam circuli erunt aequales, quod est contra hypothesim; aut minor erit longitudo he quam longitudo hc, et tunc per praemissam circulus ef maior erit circulo cd, quod rursum est contra hypothesim: omnino igitur longitudo he maior erit longitudine hc. 80 Quae etiam ostendi possunt directe per penultimam primi Euclidis quemadmodum in praecedenti factum est. 81 Constat ergo propositum.