PROPOSITIO XXXIIII
242 Aequales sibi invicem sunt cuncti circuli in sphaera signati a quorum polis rectae lineae ad ipsorum periferias fuerint aequales; contra et in circulis aequalibus in sphaera signatis rectae lineae a polis ad periferiam terminatae sunt ad invicem aequales.
243 Sint duo circuli in sphaera ab cd a quorum polis e f rectae ae cf ad periferias ponantur invicem aequales: aio quod ab cd circuli sunt inter se aequales. 244 Ducam enim a polis e f ad circulos lineas eg fh perpendiculares. Eruntque per 12 huius puncta g h centra circulorum ab cd, unde lineae ag ch erunt circulorum semidiametri. 245 Item per 13 huius ipsae eg fh productae transeunt per sphaerae centrum et idcirco in eodem centro se invicem secant. 246 Producam itaque ipsas eg fh [S:5v] ut in centro sphaerae, quod13 sit k, coincidant et ducam rectas ak ck, eruntque triangulo ake ckf invicem aequilatera ex hypothesi et diffinitione sphaerae. 247 Quam ob rem in triangulis akg ckh anguli apud k aequales erunt et anguli apud gh aequales, quoniam recti, et latera ak ck aequalia. 248 Igitur per 26 primi Euclidis, triangula akg ckh inter se aequilatera erunt, unde ag ch lineae aequales, quae sunt semidiametri circulorum ab cd. 249 Quare et circuli ipsi ab cd aequales, quod fuit ostendendum.
250 Contra ponantur circuli ab cd in sphaera signati aequales: aio quod et r[a]ectae cf ea a polis ad periferias eorum invicem aequales erunt. 251 Nam tunc, per 7 huius, lineae kg kh, quae sunt ipsorum circulorum a centro sphaerae longitudines, erunt inter se aequales. 252 Quare fit ut triangula akg ckh sint inter se aequilatera et aequiangula; unde anguli apud k aequales erunt in triangulis ake ckf. 253 Sed latera tales angulos complectentia sunt aequalia, quia semidiametri sphaerae. 254 Igitur per 4 primi Euclidis et bases talium triangulorum, hoc est lineae ea cf, aequales erunt, quod fuit demonstrandum.
LIBRI PRIMI FINIS