[S:157]

Propositio 89^a

403 Impossibile est residuum esse excessum aliorum quam suorum membrorum, servata eius diffinitione.

Sunto residui membra, maius quidem ab minus vero bc ita ut eorum excessus ca sit ipsum residuum. Aio igitur, quod ac non potest esse excessus aliorum membrorum quam ab bc ita ut membra talia sint rationalia et potentialiter commensurabilia. 404 Sint enim, si possibile³⁵¹ est, talia membra ad dc ut eorum excessus sit dictum ac residuum. Et tunc si maius membrum ad sit rationale sicut in primo vel quarto residuo, cum et ab³⁵² ut supponitur rationale sit, erit eorum differentia bd rationalis; verum bc potentia tantum rationalis per diffi[C:153v]nitionem binomii primi, vel quarti. 405 Igitur dc binomium est, non autem potentia rationalis, quod est supposito contrarium. Astruitur ergo propositum. Quod si minus membrum bc sit rationalis, ut in secundo et quinto residuo, tunc rursus bd rationalis. Sed ab potentia tantum rationale, per diffinitionem secundi vel quinti binomii, ergo ad binomium non³⁵³ potentialiter rationalis est. Quod supposito contradicit. Constat igitur proposita impossibilitas: et hoc quando ad ponitur maior, quam ab. 406 Quando vero minor, scilicet cum punctum d ponitur inter puncta bc, tunc arguetur similiter vel ad vel dc³⁵⁴ esse residuum: quod similiter supposito adversarii refragatur. Sic quo ad primum, secundum, quartum, et quintum residuum, constat propositum. Quo ad tertium vero, sextumque residuum, sic procedam. Ponam ef aggregatum ex quadratis ipsarum ab bc; item fg duplum eius, quod fit ex ab in bc; eritque per quinquagesimam nonam huius, eg quadratum ipsius ac sive, quod idem est, ac radix ipsius eg. 407 Cumque ac³⁵⁵ sit tertium vel sextum residuum, erit per sexagesimam primam eg residuum primum. Itaque si ac residuum fit per alia quam ab bc membra, utpote per ad³⁵⁶ dc, tunc aggregatum³⁵⁷ ex quadratis ipsorum ad dc sit eh, duplum vero eius, quod ex ad in dc sit hg. 408 Cumque ex [C:154r] demonstratione sexagesimae primae tunc ipsius eg residui primi membra sint eh hg, sequitur, ut ipsum eg residuum primum constet per excessum [S:158] aliorum quam ef fg membrorum, quod dudum impossibile fuit ostensum; quae demonstratio non solum tertio et sexto, sed etiam caeteris residuis usu venit. Sic constat penitus, quod proponitur.