[C:141r]

Propositio 60^a

328 Singularum residui specierum radices, sunt ipsae singulae irrationales residuales quantitates per ordinem videlicet residuum, residuum mediale primum, residuum mediale secundum, minor, cum rationali mediale totum potens, et cum mediali mediale totum potens.

Repetam descriptionem, supposita et demonstrata quinquagesimae septimae praecedentis; hoc solo mutato, ut pro aggregato membrorum ab bc sumatur eorundem differentia, qua videlicet²⁹⁰ maius membrum ab excedit minus bc. 329 Nam si aggregatum supponitur binomium, iam per diffinitionem differentia erit residuum eiusdem speciei. Item pro aggregato portionum mn (quod aggregatum erat radix ipsius abc binomii), sumatur differentia earundem mn qua scilicet maior portio m superat minorem n; quae differentia erit irrationalis quantitas residualis illius quantitatis, quam conflabant portiones mn per diffinitionem. 330 Ostendam igitur, quod sicut ipsius aggregati abc radix fuit ipsum aggregatum mn, ita differentiae ipsarum ab bc radix erit differentia ipsarum mn; sic: cum ipsius m quadratum sit al atque ipsius n quadratum sit lb, iam ab erit aggregatum duorum quadratorum inaequalium²⁹¹, quorum radices mn. Sed bc fuit duplum producti [C:141v] talium radicum. Igitur, per praecedentem, ipsa ab excedit ipsam bc in quadrato differentiae earundem radicum. 331 Hoc est, differentia ipsarum ab bc est quadratum differentiae ipsarum mn. Et perinde haec differentia erit radix illius. Quamobrem per demonstrata in quinquagesima septima [S:144] praecedenti²⁹², si illa differentia fuerit residuum primae speciei, haec differentia erit residuum.

Si illa residuum 2^ae speciei, haec residuum mediale primum.

Si illa residuum 3^ae speciei, haec residuum mediale secundum.

Si illa residuum 4^ae speciei, haec irrationalis, quae minor.

Si illa residuum 5^um, haec cum rationali mediale potens.

Si illa residuum 6^um, haec cum mediali mediale potens.

Et hoc est, quod demonstrandum proponebatur.

Corollarium

332 Unde manifestum est, quod compertis per quinquagesimam septimam praecedentem, sex irrationalibus quantitatibus praedictis, quae singulae ex binis membris constant inaequalibus²⁹³; iam eorundem membrorum differentiae singulae erunt residuales quantitates praedictarum bimembrium. Item si bimembribus sua singulis quadrata attribuantur, (quae binomia sunt) talium binomiorum residua erunt singula singularum dictarum residualium quadrata.