Propositio 58^a

317 Sex irrationalium quantitatum, scilicet binomii, bimedialis primi, bimedialis secundi, maioris, potentis rationale ac mediale, potentisque duo medialia singularum per ordinem singula quadrata sunt singulae species binomii.

Haec est conversa praecedentis. Persistam tamen in eadem descriptione, ac suppositis. 318 Ponaturque mn binomium vel aliqua ex irrationalibus praedictis; ita ut mn sint membra ipsius irrationalis iuxta eius diffinitionem considerata. Ut habeam ipsius mn quadratum, ponam ipsius m quadratum al, et ipsius n minoris membri quadratum lb. Item eius, quod fit ex m in n duplum ipsam bc. Eritque per quartam secundi Elementorum, tota ac quadratum totius mn. 319 Demonstrandum est igitur, quod si ponatur mn aliqua ex dictis²⁸² sex quantitatibus irrationalibus, erit et ac aliqua ex speciebus binomii, et²⁸³ quota mn in ordine sex irrationalium tota et ac in ordine specierum binomii. Namque ex conditionibus membrorum mn componentium ipsam irrationalem sequitur conditio membrorum ab bc constituentium speciem binomii. 320 Sic existente mn binomio²⁸⁴, vel bimediali primo, vel bimediali secundo, iam per diffinitionem al lb quae sunt ipsorum mn quadrata, sunt invicem commensurabiles. Unde per quadragesimam sextam huius sequitur ut kl sit ipsis al lb et toti ab commensurabilis. Cumque h sit radicis ipsius df dimidium, erit talis radix commensurabilis ipsi ab. Igitur ab potentior quam bc in ipsa df, quadrato scilicet radicis sibi commensurabilis. 321 Existente autem mn maiori, potenti rationale ac mediale, potentive duo medialia, tunc per earum diffinitionem al lb sunt invicem incommensurabiles. Unde per quadragesimam septimam huius sequitur ut kl sit ipsis al lb et toti ab incommensurabilis; utque kl hoc est h ipsius radicis df dimidium, et perinde ipsa radix sit ipsi ab incommensurabilis. Quo fit, ut ab potentior sit quam bc in ipsa df cuius radix est ipsi [S:142] ab incommensurabilis. 322 Item quoniam existente mn binomio, vel maiori, ab est rationalis, bc vero potentia tantum rationalis. Existente autem mn bimediali primo, vel potente rationale et mediale, ab est potentia [C:140r] tantum rationalis, bc vero rationalis. Existente tandem mn bimediali secundo, vel potente bina medialia, tam ab quam bc est potentia tantum rationalis. 323 Praeterea, quoniam existente mn binomio, bimediali primo, maiori, vel potente rationale et mediale, ipsarum ab bc altera est magnitudine, altera potentialiter tantum rationalis; atque ideo ab bc sunt potentialiter tantum commensurabiles. Existente autem mn bimediali secundo cum per primam sexti m ad n sit sicut quadratum m ad rectangulum mn hoc est, sicut al ad dimidium ipsius bc atque mn sint incommensurabiles; et ideo al et dimidium ipsius bc sint incommensurabiles per quadragesimam octavam huius. 324 Cumque quoniam al lb inter se commensurabiles, ideoque tota ab ipsi al commensurabilis est, iam tota ab dimidio ipsius bc, et ideo toti bc per quadragesimam quintam huius sit incommensurabilis. Sintque ab bc potentialiter commensurabiles, quia potentia rationales ex diffinitionibus dicti bimedialis secundi. 325 Existente tandem mn potente duo medialia cum ab bc ex diffinitione ipsius sint incommensurabiles, ac potentialiter tantum commensurabiles, quia scilicet potentia rationales, sicut omnia ex diffinitionibus ipsarum irrationalium constat. Propterea, consideratis sex specierum binomii conditionibus, existente

M n Binomio ac erit pum Binomium Bimediali po ac erit 2um Bimediali 2o ac erit 3um Maiori ac erit 4um Potente rationale, mediumque ac erit 5um Potente duo medialia ac erit 6um