[S:139]

Propositio 57^a

307 Singularum binomii specierum radices sunt ipsae²⁷⁴ singulae irrationales quantitates per ordinem, scilicet [C:137v] binomium, bimediale primum, bimediale secundum, maior, potens rationale ac mediale, et potens duo medialia.

Paucis propositum demonstrabo. 308 Esto binomium, cuius membra ab bc; sit ipsius ab quadratum de et ipsius bc quadratum ef quorum differentia fd, cuius differentiae quarta pars sit g et ipsius g radix sit h. Mox secta²⁷⁵ per aequalia quantitate ab apud k punctum, ponatur ipsi h aequalis kl²⁷⁶. Post haec, totius akl radix sit m. Relicti autem lb radix sit n. Aio iam, quod totum mn radix est binomii abc. 309 Deinde ostendam, quod si abc sit binomium primum, tunc mn erit binomium. Si abc binomium secundum, tunc mn erit bimediale primum. Si abc binomium tertium, tunc mn erit bimediale secundum. Si abc binomium quartum, tunc mn erit maior. Si abc binomium quintum, tunc mn potens rationale ac mediale. Si demum abc binomium sextum, tunc mn potens duo medialia. 310 Nam cum ab secetur aequaliter apud k et inaequaliter²⁷⁷ apud l iam per quintam secundi Elementorum rectangulum al lb cum quadrato kl hoc est cum g aequalia sunt quadrato ak hoc est quadranti²⁷⁸ ipsius de. Sed quadratum ipsius kl hoc est g fuit quadrans ipsius df, igitur reliquum quadrans reliqui, hoc est rectangulum al lb erit quadrans ipsius ef; quare per corollarium undecimae huius, rectangulum mn erit radix quartae partis ipsius ef hoc est dimidium ipsius bc; ergo duplum ipsius rectanguli mn aequivalet totum bc. 311 Cumque per hypothesim al sit quadratum ipsius m [C:138r] et lb quadratum ipsius n erunt quadratum m quadratum n cum duplo rectanguli mn simul aequalia toti ac. Sed per quartam secundi, eadem simul componunt quadratum totius mn. Igitur totum mn radix est totius ac quod erat primum ex demonstrandis. Reliquum patet ex conditionibus ipsarum specierum binomii. Fit enim, ut existente abc binomio primo, tunc al lb sint rationales; existente autem ac binomio secundo, vel tertio fit, ut al lb²⁷⁹ sint potentia tantum rationales. 312 Quare existente ac binomio primo, erunt [S:140] mn potentia rationales; existente autem ac binomio secundo, vel tertio erunt mn mediales: quandoquidem al lb quadrata ipsarum mn potentia tantum rationalia. Et hoc, quoniam, per diffinitionem binomii primi, secundi, et tertii, radix ipsius df et ideo radix ipsius g hoc est h hoc est kl commensurabilis est ipsi ab et ideo ipsi ak, vel kb ipsisque al lb; cumque per primam sexti m ad n sit sicut quadratum m ad rectangulum mn hoc est sicut al ad²⁸⁰ dimidium bc; ideo tunc per quadragesimam octavam huius, constat ipsas mn esse potentia tantum commensurabiles. 313 Existente autem ac binomio quarto, quinto, vel sexto fit, ut al lb sint invicem incommensurabiles: quoniam scilicet, per diffinitionem talium binomiorum, radix ipsius df et perinde radix ipsius g hoc est ipsa h et ipsa kl incommensurabilis est ipsi ab et idcirco ipsi ak et ipsis al lb; quare, per quadragesimam septimam huius, [C:138v] ipsae al lb invicem incommensurabiles. 314 Unde constat ipsas mn tunc esse potentia incommensurabiles. Item cum rectangulum mn sit dimidium ipsius bc, atque existente ac binomio primo, tertio, quarto, vel sexto, ipsa bc sit potentia tantum rationalis, ideo tunc rectangulum mn erit mediale. Existente vero ac binomio secundo, vel quinto bc erit magnitudine rationalis; quare tunc rectangulum mn erit rationale. 315 Praeterea cum quadrata mn conficiant totam ab, atque existente ac binomio primo, vel quarto ab sit magnitudine rationalis; existente vero ac binomio secundo, tertio, quinto, vel sexto ab sit potentia tantum rationalis. Idcirco existente ac binomio primo, vel quarto, quadrata mn conficiunt rationale²⁸¹; existente vero ac binomio secundo, tertio, quinto, vel sexto quadrata mn conficiunt mediale. Ex quibus quidem, consideratis irrationalium quantitatum diffinitionibus, constabit, quod existente ac [C:139r]

Corollarium

316 Hinc ergo comperiri poterunt singulae quantitates irrationales: ut si velim, exempli gratia, comperire irrationalem quantitatem, quae maior vocatur, per praecedentem inveniam quartum binomium, et per praesentem ipsius binomii radicem, quae, ut ostensum est, maior erit. Et similiter per reliquas binomiorum species reliquas irrationales inveniemus.

Binomio po binomium. po bimediale primum. po m n erit bimediale secundum. po maior. po potens rationale ac mediale. po potens duo medialia.