Propositio 26a
171 Propositae cuiuspiam quantitatis radicem cubicam extrahere.
Si numerus repraesentans propositam quantitatem sit numerus cubus, tunc radix cubica eius numeri erit numerus repraesentans propositae quantitatis radicem, per secundam huius libelli. Si autem proposita quantitas signetur170 per duos numeros, tunc sit eius numerator e et denominator f qui supponantur, vel cubi numeri vel in ratione cuborum numerorum. 172 Si cubi, sic capiantur; si autem in ratione cuborum redigantur, ad minimos eius rationis per trigesimam nonam septimi, qui sint ipsi ef eruntque per corollarium secundae [S:113] octavi ef numeri cubi; sit ergo ipsius e cubica radix c171 numerus, et ipsius172 f cubica radix ipse d numerus. Aio igitur, quod quantitas cd cuius numerator c denominator autem d erit radix cubica propositae quantitatis ef; quod sic constat. 173 Ducatur c in se, et fiat a. Item d in se, et fiat b; eritque per diffinitionem quantitas ab quadratum ipsius cd. Cumque ex radicis ductu in suum quadratum proveniat cubus ipsius radicis, iam ex ductu quantitatis cd in quan [C:113v] titatem ab proveniet cubus ipsius cd. Sed ex tali ductu quantitatum proveniet quantitas ef per regulam multiplicationis in octava huius traditam, quoniam scilicet ex ductu ca numeratorum fit e numerator, et ex ductu db denominatorum fit f denominator. Igitur ef quantitas est cubus ipsius cd quantitatis, et perinde cd radix cubica ipsius ef propositae quantitatis quaesita. 174 Quando autem numeri repraesentantes propositam quantitatem non fuerint cubi numeri, tunc sicut in prima propositione dictum est, talis quantitatis cubica radix non erit rationalis, et in numerarios terminos non cadit, nec nisi per cubum profertur sic173 radix cubica 7 et radix cubica 9. Poterimus tamen per numeros magis atque magis ipsi propinquare, sicut in praecedenti pro radice quadrata vestiganda fecimus. 175 Sit enim, exempli gratia, a quantitas proposita non quidem cubo numero significata, cuius cubicam radicem vestigare iubear, quam non nisi prope propiusque tentim accedendo, coniicere possum, sicut in numero non quadrato de quadrata radice faciebam. Sit itaque ipso numero a proxime174 superior b cubus, cuius radix cubica sit c. Deinde subtraho a ab ipso b et residuum sit d. Quod partior per triplum quadrati, quod ex c et proveniat e. Hoc [C:114r] subtraho ab ipso c et residuum sit f, cuius cubus esto g. 176 Dico itaque quod f est propinquior radici cubae ipsius a quam erat c; atque quod g cubus est vicinior ipsi a quam erat b. Nam, per vigesimam primam huius, cum c quantitas secetur in ipsas e et f erit cubus ipsius c scilicet ipse b aequalis his, scilicet cubo ipsius f qui est g et cubo ipsius e et triplo eius quod ex quadrato ipsius e in f nec non triplo eius quod ex quadrato ipsius f in e. 177 Cumque idem b sit aequalis ipsis ad simul atque d sit aequalis triplo eius, quod fit ex quadrato ipsius c in e et ideo triplo eius, quod fit ex quadrato ipsius ef in e, propterea b aequalis erit his, scilicet ipsi a et triplo eius, quod fit ex quadrato ipsius ef in e. Sed, per vigesimam [S:114] huius, quod fit ex quadrato ipsius ef in e aequale est his, scilicet ei, quod fit175 ex quadrato ipsius f in e et ei, quod fit176 ex quadrato ipsius e in f atque ei177 quod ex quadrato ipsius e in totam ef. 178 Igitur triplum eius, quod ex quadrato ipsius ef in e aequale erit his, scilicet triplo eius, quod ex quadrato ipsius f in e et triplo eius, quod ex quadrato ipsius e in f atque triplo eius, quod ex quadrato ipsius e in ef. Quamobrem ipsa b erit etiam aequalis his scilicet ipsi a et triplo eius, quod ex quadrato ipsius f in e et triplo eius, quod ex ipsius e quadrato [C:114v] in f atque triplo eius, quod ex quadrato ipsius e in ef. 179 Verum, per vigesimam primam huius, idem b cubus aequalis est his, scilicet ipsi g qui cubus est ipsius f et cubo ipsius e et triplo eius, quod fit ex quadrato ipsius e in f triploque eius, quod ex quadrato ipsius f in e. Quoniam scilicet e et f constituunt ipsam c radicem ipsius b, ergo haec scilicet ipsa a triplum eius, quod ex quadrato ipsius f in e et triplum eius, quod ex quadrato ipsius e in f cum triplo eius, quod ex quadrato ipsius e in ef simul erunt aequalia his178 simul179, scilicet ipsi g cubo ipsius f et cubo ipsius e et triplo eius, quod ex quadrato e in f et triplo eius, quod ex quadrato ipsius f in e. 180 Demptis igitur utrinque his, scilicet triplo eius, quod ex quadrato ipsius e in f et triplo eius, quod fit ex quadrato ipsius f in e supererunt g et cubus ipsius e simul180 aequalia ipsi a et triplo eius, quod ex quadrato ipsius e in ef. Itaque g tanto maior est ipso a quanto triplum eius quod ex quadrato ipsius e in ef sive in c maius est cubo ipsius e. 181 Maius est enim id, quod ex quadrato ipsius e in ef quam cubus ipsius e qui ex quadrato ipsius e in ipsum e producitur; multo magis ergo et triplum eius, quod ex quadrato ipsius e in ef seu in c181 maius erit cubo ipsius e. [C:115r] Cum igitur g sit maior ipso a minor autem ipso b quandoquidem f minor fuit ipsa c radix radice, erit f propinquior cubicae radici ipsius a quam fuerat c. Adhuc tamen f maior est ipsa quaesita radice cubica ipsius a quandoquidem g cubus maior quam a182. 182 Similiter autem sicut per b et c invenimus f radicem viciniorem radici ipsius a quam fuerat c ita rursus per g et f inveniemus radicem propiorem radici ipsius a quam fuit f; et similiter iterum atque iterum propinquiorem nunquam tamen in infinitum punctuale verum, numerario termine attingentes. Quin etiam id ipsum sicut in quadrata fecimus, aliter attentabimus sic183: sit a numerus non cubus cuius velim coniectare cubam radicem. Assumo cubum numerum magnum, utputa millenarium, qui [S:115] sit b cuius radix cubica scilicet denarius sit c. 183 Multiplico ipsum a in b et produco d. Quo fit, ut si a propositus numerus sit 7 iam ipsum productum d sit 7000, cuius radix cubica quidem paulo maior est, quam 19, quae sit e et quoniam cubi sunt ad invicem in tripla ratione radicum, propterea cum d numerus sit millecuplus ad ipsum a cubus scilicet ad cubum, iam e radix ipsius d decupla erit ad radicem ipsius a, [C:115v] igitur radix ipsius a quae sit f erit pars decima ipsius e hoc est paulo maior quam 19/10. 184 Quod si pro millenario assumpsissem cubum maiorem, utputa millionem, vicinior verum fuissem. Itaque deinceps: nam maior numerus distinctius184 partes exprimit, quia numerosior; neque aliter geometrico puncto accedere licet propter incommensurabilitatem quaesitae radicis in nullum numerum cadentis. Haec de radicum quadratarum, et cubicarum extractione satis. Nunc ad progressiones veniamus. 185 Nam quemadmodum datae quantitatis quadrata vel cubica radix via geometrica extrahatur in libello Datorum Theonis docuimus. Illius regulam Euclides in ultima secundi. Huius vero praeceptum Philon Byzantius, Apollonius, Archytas, Pappus, Eratosthenes, Menaechmus et alii tradidere, ut Eutotius Ascalonita in commentariis Archimedis scripsit.
|
|
|