Propositio 25^a

159 Propositae cuiuspiam quantitatis radicem quadratam extrahere.

Si numerus repraesentans propositam quantitatem sit numerus quadratus, tunc radix eius numeri erit numerus repraesentans radicem quantitatis propositae, per secundam huius libelli. Si autem proposita quantitas contineat partem, vel partes positae quantitatis, tunc sit eius numerator a et denominator b, qui supponantur vel quadrati, vel in ratione quadratorum numerorum: si quadrati, sic capiantur, si in [C:111r] ratione quadratorum numerorum, redigantur ad minimos eiusdem rationis per trigesimam nonam septimi, qui sint ipsi ab eruntque per corollarium secundae octavi ab numeri quadrati. 160 Sit ergo ipsius a radix ipse¹⁵⁷ c numerus et ipsius b radix ipse¹⁵⁸ d numerus. Aio igitur, quod quantitas cd cuius numerator est c et denominator d erit radix quadrata propositae quantitatis ab. Quod sic constat. [S:111] Quoniam numerus c est radix numeri¹⁵⁹ a et numerus d radix numeri b palam est, quod¹⁶⁰ numerus c in se ductus producit numerum a et numerus¹⁶¹ d in se ductus producit numerum b. 161 Quare per regulam multiplicationis in octava huius traditam ex quantitate cd in se ipsam multiplicata producitur quantitas ab et ideo per diffinitionem quantitas cd radix quadrata est ipsius ab propositae quantitatis; quod erat demonstrandum. Quando autem numeri reputantes propositam quantitatem non fuerint quadrati numeri, tunc talis quantitatis radix quadrata non potest numero notari: est enim solum potentia hoc est quadrato rationalis, et per numerum propositum tanquam quaesitae radicis quadratum solummodo praefertur¹⁶². 162 Exempli gratia: radix 3 vel radix 5. Poterimus tamen numero magis ac magis vicino¹⁶³ ipsam radicem [C:111v] non quadrati numeri significare. Exempli gratia: sit quantitas proposita ipso a numero non quadrato significata, cuius volo radicem quadratam prope verum invenire. Capio numerum quadratum b proxime maiorem ipso a numero cuius radix sit c quae iam erit prima radix propinqua quaesitae. 163 Sed ut propinquiorem inveniam, subtraham a ab ipso b et residuum sit d quod partior per duplum ipsius c per nonam huius et proveniat quantitas e quam subtraho ab ipsa c et supersit f quod multiplicatum in se facit g. Dico itaque quod f est radix ipsius a propior, quam c et ipse g quadratus vicinior ipsi a, quam quadratus ipse b. 164 Quod sic patet. Cum c secetur in e et f erit, per quartam secundi Elementorum, b ipsius c quadratus aequalis his, scilicet quadrato qui ex e, quadrato qui ex f scilicet g et duplo eius quod fit ex e in f. Et idem quoque b est aequale ipsi a una cum d. Sed d est duplum eius, quod fit ex c hoc est ex toto ef in e. Igitur b aequalis erit ipsi a et duplo eius, quod fit ex ef in e. 165 Sed duplum eius, quod fit ex ef in e est [C:112r] aequale duobus quadratis ipsius e et duplo eius, quod fit ex e in f per tertiam secundi Euclidis bis assumptam. Ergo b aequalis erit ipsi a et duobus quadratis ipsius e et duplo eius, quod fit ex e in f; fuerat autem et b aequalis quadrato, quod ex e et ipsi g et duplo eius, quod ex e in f. Igitur quadratum quod ex e et ipsum g et duplum eius quod ex e in f sunt aequalia his, scilicet ipsi a et duobus quadratis ex e et duplo eius quod ex e in f. 166 Quare, demptis utrinque quadrato e¹⁶⁴ et duplo eius quod ex e in f relinquentur inde quidem ipsum g hinc vero a una cum quadrato ipsius e invicem aequalia. Itaque g excedit ipsam a in quadrato ipsius e; et superatur [S:112] ab ipso b quandoquidem f superatur a c¹⁶⁵ radix scilicet a radice. Atque ideo f erit vicinior radici ipsius a quam fuerat c adhuc tamen maior ea, quandoquidem g maius ipso a quadratum quadrato. 167 Similiter autem sicut per ipsos b et c, quadratum et radicem, invenimus f radicem quaesitae viciniorem, quam fuerat c; ita rursum per g et f, quadratum et radicem, inveniemus radicem quaesitae propinquiorem, quam est f. Et similiter, iterum atque iterum viciniorem, semper tamen aliquanto maiorem, donec excessus redigatur ad fractiunculam atomo [C:112v] aequalem, ac quantovis minorem, in infinitum, nunquam tamen ipsi aequalem; quoniam quaesita irrationalis est, et in terminos numerarios non cadit. 168 Quae omnia exercitio practici exempli calculando facile experieris. Poteris et alia via propinquare radici ignotae, sic: sit¹⁶⁶ a numerus non quadratus, cuius volo prope verum vestigare radicem. Assumo ingentem numerum quadratum, ut puta centenarium, qui sit b cuius latus c. Multiplico a in b et produco d. Quo fit, ut si a propositus sit exempli gratia 8 ipse d proveniat 800 cuius radix quidem maior quam 28 minor quam 29 quae sit e¹⁶⁷. 169 Et quoniam quadrata sunt in dupla ratione radicum, cum d numerus sit centuplus ad ipsum a quadratum scilicet ad quadratum; iam e radix ipsius d erit decupla ad radicem ipsius a. Hoc est, cum d¹⁶⁸ ad a sit sicut b centenarius ad unitatem, erit e ad f sicut b ad c vel sicut c ad unitatem, hoc est, decuplus. Igitur f erit decima pars ipsius e hoc est maius quam 28/10 minus vero quam 29/10 et haec est ipsius a radix quaesita. 170 Quod si pro centenario assumpsissem quadratum numerum¹⁶⁹ maiorem, ut centies centum, per minutiores partes magis vero appropinquassem, magisque si ad calculum millionem quadratum applicassem. [C:113r] Itaque deinceps in infinitum, licet verum numerario termino attingi nullatenus possit.

c 10 b 100 a 8 d 800 f 2 8/10 9/10 c 2829